本週的播放清單如下
週一：向量函數的積分
週二：曲面分析與面積分
週三：旋轉體分析
週四：三變數函數的積分
週五：向量函數的極限、連續與微分
以下是可以許願的清單
記得只能許願某個重點，不能直接許一整章
若是有人許過你想許的主題
可到 YT 許願
youtube.com/post/UgxOAnbloHj78w6vjI14AaABCQ
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【積分(前篇)】
重點一 定積分直觀觀念
重點二 奇偶函數的積分
重點三 定積分正式定義
重點四 積分運算性質
重點五 微積分基本定理 I - 先微再積型
重點六 不定積分與反導數
重點七 雙曲函數
重點八 微分表II
重點九 四大積分基本方法之一：變數變換法
重點十 四大積分基本方法之二：三角置換法
重點十一 四大積分基本方法之三：分部積分法
重點十二 積分表
重點十三 四大積分基本方法之四：部分分式法
【積分(後篇)】
重點一 進階積分技巧：高次倍角三角函數積分
重點二 特殊積分形式之其一：含絕對值的積分
重點三 特殊積分形式之其二：含無窮的積分 (瑕積分)
重點四 微積分基本定理 II - 先積再微型
重點五 旋轉體積分
【數列與級數】
重點一 數列與數列的極限
重點二 數列極限的運算性質
重點三 數列連續化求極限法
重點四 夾擠定理
重點五 單調數列與有界數列
重點六 級數
重點七 級數的運算性質
重點八 級數審斂法一：等比級數
重點九 級數審斂法二：p-級數
重點十 級數審斂法三：比較審斂法
重點十一 級數審斂法四：極限比較審斂法
重點十二 級數審斂法五：比值審斂法
重點十三 級數審斂法六：根值審斂法
重點十四 級數審斂法七：積分審斂法
重點十五 級數審斂法八：交錯級數審斂法
重點十六 絕對收斂和條件收斂
重點十七 冪級數
重點十八 冪級數的運算
重點十九 泰勒級數與泰勒定理
【多變數函數的微積分】
重點一 多變數函數
重點二 二變數函數的極限
重點三 二變數函數極限特殊求法
重點四 二變數函數極限運算定理
重點五 二變數函數的連續
重點六 二變數函數的偏微分
重點七 高階偏微分
重點八 偏微分運算律
重點九 多變數函數的微分量 (全微分)
重點十 方向導數
重點十一 梯度與等高線
重點十二 等值面與切平面
重點十三 相對極值、絕對極值和鞍點
重點十四 拉格朗日乘數法
重點十五 二變數函數的積分：二重積分
重點十六 二重積分的極座標轉換
重點十七 二重積分的應用
重點十八 三變數函數的積分：三重積分
重點十九 柱座標與球座標
重點二十 三重積分的應用
【向量微積分】
重點一 向量函數的定義
重點二 向量函數的極限、連續與微分
重點三 向量函數的積分
重點四 曲線分析
重點五 旋轉體分析
重點六 向量場與保守場
重點七 線積分
重點八 微積分基本定理 for 線積分
重點九 格林定理
重點十 梯度、旋度、散度
重點十一 曲面
重點十二 曲面分析與面積分
重點十三 散度定理
重點十四 史托克定理
以上就是能許願的清單
統計到本周六晚上 10 點
結果會在本周日晚上公告
然後下周一至五晚上 6 點在我頻道限時首播
史托克定理 在 Re: [問題] 電磁學中的梯度散度旋度[補充] - 看板Physics 的美食出口停車場
※ 引述《john11894324 (不要叫我大蘋果)》之銘言：
: 電磁中有個地方搞不太懂
: 為何一個純量場取旋度為零
: 為何一個向量場取旋度在取散度為零
: 有人可以用數學或是幾何意義跟我解釋一下嗎?
: 拜託了!
上次沒講到幾何的意義這次就來補充一下~
我們知道電磁學教過的高斯定理和史托克定理
這兩個定理分別為
→ → →
1.高斯定理 ∫∫∫(▽˙A )dv=∮A ˙da
v s
→ → → →
2.史托克定理∫∫(▽╳A )da =∮A ˙dl
a c
(1) ▽╳(▽φ)=0
首先我們利用史托克定理將▽φ整個映在a的邊界c上面
∫∫(▽╳(▽φ) )da =∮▽φ ˙dl=∮dφ=φ(P1)-φ(P1)=0
a c c
╱￣￣↖
╱ ╲
↓ A ｜ C
｜ ↑
╲ ╱P1
↖ ╱P2 P1=P2
￣￣
→
(2) ▽˙(▽╳A )=0
→ → → →
▽˙(▽╳A )=▽˙B (這裡令▽╳A =B )
→
∫∫∫(▽˙(▽╳A ))dV (首先任意取一塊體積)
V
→ → →
= ∫∫∫(▽˙B )dV=∮(B ˙da ) (將積分用高斯定理丟到曲面上)
V S
→ → → →
=∫∫B˙da +∫∫B˙da (曲線C將封閉曲面S一分為二)
S1 S2
→ → → →
=∫∫(▽╳A )˙da +∫∫(▽╳A )˙da (換成A再利用史托克定理)
S1 S2
→ → → →
=∮A ˙dl +∮A ˙dl (將最終的積分換到C上面)
C1 C2
→ → → →
=∮A ˙dl -∮A ˙dl=0(發現C1=-C2)
C1 C1
╭─────────────╮
│ ╴╴╴╴╴╴ C2 ｜
│ ↗ ╱ ╲ ↘ │S
│ ╱↙ ↖╲ │
│╱ ╲ │
│╲ C1 ╲│
│ ╲ ／│
│ ╲↘ ↗ ／ │
│ ↖ ╲ ／↙ │
│ ╲ ╱ │
│ ￣￣￣￣ │
│ V │
│ │
│ │
╰─────────────╯
仔細觀察以上兩個結果我們可以發現高斯定理和史托克定理的精隨
這兩個定理基本上就是將某個區域內的積分值換到這個區域的邊界上
而第一項結果我們任意取一個面積在裡面的積分值會先換到這個面積的邊界上
但是這個邊界是一個封閉的曲線所以積分上下限會一樣~因此等於0
第二個結果我們先將體積的積分換到他的邊界~也就是我們所謂的封閉曲面上~
然後我在將這個封閉曲面切成兩塊~再將曲面上的面積分~換到曲面上的邊界
也就是那一條將封閉曲面切開的封閉曲線~
在最後很巧合的是積分出來的兩個結果居然互為相反數
但其實這一電並不意外
因為我們所謂的封閉曲面事實上是沒有邊界的~我們將他切開後自以為有邊界
但將這兩個邊界加起來~他們的效果是互相抵消的
這和第一個的結果互相呼應~
第一的的結果到最後其實會將值轉換到這條封閉曲線的邊界上
但因為封閉曲面沒有邊界~所以值為0
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這裡最主要要帶給我們的觀念其實並不是那些雜七雜八微積分運算~
我認為從某個區域的積分可以藉由邊界上的積分表現出來
而這些曲面邊界之間的拓撲關係才是重點
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從更高的層次來看這些東西是微分幾何的必然結果~
我們的積分可以視為外微分在某個FORM中運算兩次的恆等式
2
∫d ω=∫ dω=∫ ω=0
c ∂c ∂^2
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