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畢達哥拉斯（Pythagoras）是最早的數學先驅之一，他在公元前571年出生於希臘的薩摩斯島（Samos），最後在義大利南部的克羅托內（Crotona）創辦了一個古怪的數學學派，他的門徒不許吃豆子、碰白羽毛，或在陽光下「撒尿」。他並沒有發明那個關於斜邊上正方形面積的著名定理（x² + y² =z²），而是給出了證明。(圖文摘自《費波納契的兔子：50個改變歷史的數學大觀念》)
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世上有無字的情批，也有無字的數學證明。光靠這張圖就可以證明的事情是：【根號二是無理數】 原解釋影片 by @Mathologer youtu.be/f1yDExNAEMg
以下導讀 😃：
我們想像北韓大閱兵，兩個一樣大的步兵方陣向彼此靠近，交錯穿過（像之前回顧的動畫），然後迅速的重新整隊，變成一個有兩倍軍人的方陣......啊，此情此景多賞心悅目，金正妹大喜。
呃，什麼，數學很好的參謀表示，很抱歉那是不可能做到的！如果小方陣邊長是 N，大方陣邊長是 M，因為士兵守恆
N² + N² = M²
→ 2 N² = M²
→ (M/N) = √2
但 M 和 N 都是正整數。就表示根號二忽然變有理數了，即使在已經頗無理的北韓都做不到那種事。
但怎麼證明？數一數，圖中有兩個淺色邊長為 12 的正方形，彼此在中央重疊 7 格深色正方形，12 - 7 = 5 是角落兩個白色正方形，整個大正方形邊長是 12 + 5 = 17。
注意到 12×12 = 144, 144 + 144 = 288 ≠ 289 = 17×17 只差 1 就可以完成北韓方陣，很好很好，只需要多複製出一個人（誤）。
能否更好，不需要偷加減一個人呢。依照前文，假設能完成 2 N² = M² 的最小正整數 M 與 N 存在，容易檢查
( 2N - M )² = 2 (M - N)² 也成立。
上式可以用代數乘開，或者注意到原圖中的正方形的面積關係。若兩個淺色正方形面積相加等於大正方形，則中央重疊正方形面積，會等於兩個角落的白色小正方形。（我想像它們是蛋糕模子裡的麵糊，抹平推開。）
揪抖嗎跌～發現貓溺。我們剛剛不是才假設 M,N 是最小的能滿足方程式的正整數解嗎。但透過代數 or 幾何推理，忽然又冒出一組「更小的正整數」 2N-M 和 M-N 也是解。
按照一樣的運算可以一再不停「找出」嚴格更小的正整數組.......
但正整數不可能一直減小再減小，最小只有到 1 而已。所以這一連串「無窮遞降」的荒謬劇的罪魁禍首，只有可能是我們一開始假設錯誤！並不存在任何這樣的 M,N。
這招「無窮遞降歸謬法」是由業餘數學家之王，律師先生費馬發揚光大的。→ Proof by infinite decent
值得一提的是，只要加減一個人就能完成北韓方陣。這個數學結論來自經典的 Pell 方程式：y² - 2 x² = ±1，這個 Pell 方程式的解可以輕易的得到越來越好的「√2 的有理近似」
例如
17/12 = 1.41666...
41/29 = 1.41379...
99/70 = 1.41428...
239/169 = 1.41420... （規律：p/q 的下一個是 (p+2q)/(p+q)）
而 √2 = 1.41421...
欸欸欸為什麼？因為丟番圖 Diophantus 和婆羅摩笈多 Brahmagupta 強者威能，歐幾里得也有貢獻。詳盡展開字多略。
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利用圓外一點到切點等距、畢氏定理、三角形面積、圓面積及正方形面積公式來解題
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正方形面積 在 [幾何] 1/4圓內接正方形面積- 看板Math 的美食出口停車場
https://www.youtube.com/watch?v=6OfWw_etYUU
求其內接正方形面積?
我看下面留言說,設正方形的對角線長=D
又因為正方形的對角線長總是邊長的根號2倍, 故正方形面積是(D^2)/2
然後又說:根據畢氏定理, (D/2)^2+D^2=r^2=1 得D^2=0.8
所以正方形面積是0.4
可是,這算法我怎麼看,怎麼怪 @@
難道正方形的對角線就一定垂直於X軸嗎?
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