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【這題怎麼算？至少有三種方法，你用哪一種？】
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上次在講為何需要極限嚴格定義時
我有問過這題
不少同學知道答案是 1
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但是為什麼？
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學數學時
最重要的事就是問為什麼
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方法 1️⃣
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有些同學講
因為當 x 越靠近 0 時
sin(x) 和 x 比值越靠近
所以極限是 1
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這方法蠻直觀的
但不是直接畫圖看左右極限
因為上圖並非 sin(x) / x 的圖形
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方法 2️⃣
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有些同學則使用羅必達法則
分子分母個別微分，再求極限
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但這方法有點問題
特別是針對初學者
因為在初學極限時
是沒有微分可以使用的
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方法 3️⃣
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那麼初學者要如何得到這題的極限呢？
可以參考我頻道影片
👉 夾擠定理｜觀念講解
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大家是用什麼方法算出這題極限呢？
在下面留言告訴我唄～
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#數學老師張旭
#張旭微積分
#微積分 #數學 #數學補習 #讀書
【極限的嚴格定義？大一新生的大難關】
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∀ ε > 0, ∃ δ > 0, s.t.,
∀ 0 < | x - a | < δ, | f(x) - L | < ε
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這一大串看似咒語的數學敘述
是很多大一新生初學大學微積分的難關
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而那一大串咒語所代表的意思
就是當 x 趨近 a 時，f(x) 會趨近 L
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剛高中畢業的同學或許會覺得奇怪
函數的極限，不是看左右極限就好了？
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其實不然，像下面這個例子：
lim_{x→0} sin(x) / x
其函數圖形不好畫
所以不容易直接從圖形看出左右極限
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因此數學家才需要發展極限的嚴格定義
就是最前面看到的那串咒語
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從該定義出發
先解決基本函數的極限
然後證明函數的極限公式
再搭配一些計算技巧和定理
最終就能靠計算得到大部分函數的極限
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像剛剛提到的那個例子也行
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知道那個例子的答案是多少嗎？
知道的同學下面刷一排答案唄～
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【處處極限不存在的函數】
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我記得自己剛升大一在學習微積分的時候，教授問了一個問題，「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」，那時候我想了很久，總是想不出來到底要怎麼設計，才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是，如果要在任意點的極限都不存在的話，那可能要先解決一個問題，那就是在設計了一個在某一點，例如說 a 點，極限不存在的函數以後，要如何改造這個函數，才有辦法讓 a 點「旁邊」的點其極限也不存在。
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（接下來的內容，建議同學們可以拿支筆在紙上按照說明把函數畫出來）
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舉例來說，如果我們設計了一個在 x = 0 這個點極限不存在的函數（例如設定這個函數在 x 小於 0 時其函數值均為 0；而當 x 大於 0 時其函數值均為 1），那麼要如何改造或調整這個函數，才有辦法讓這個函數在 x = 0 的「旁邊」的點其極限也不存在呢？針對這個例子而言，或許可以這樣做：先將這個函數在 x 大於 1 以後的函數值改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 1 的時候極限都不存在，但因為 1 並非 0「旁邊」的數字，所以顯然還要再調整，於是我們再將 x 大於 0.5 以後的函數值都改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 0.5 處其極限不存在，但同樣地，因為 0.5 並非 0「旁邊」的數字，所以我們繼續調整這個函數，下一步當然是將 x 大於 0.25 以後的函數值都改成 0.5，依此類推，再下一步就是將 x 大於 0.125 以後的函數值都改成 0.5，持續這樣的步驟，最終我們會得到一個當 x 小於 0 時其函數值為 0 而當 x 大於 0 其函數值為 0.5 的函數。這個函數當然仍然在 x = 0 的時候其極限不存在，但是原本在調整時的兩點極限不存在，卻因無限持續這樣的步驟，而變回了僅在 x = 0 極限不存在的狀態。這結果實在令人沮喪。
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之所以會產生這樣的狀況，是因為持續了無限次將新增的極限不存在的點向 x = 0 處靠近的緣故。既然如此，那如果不要持續上面的步驟無限次呢？如果僅持續有限次的步驟，那麼在該次步驟的下一次，一定可以把 x = 0 右邊新增的極限不存在的點向 x = 0 再靠近一些，這個推論的結果就是，如果僅持續有限次上述的步驟，那麼就無法達成創造一個在 x = 0 的「旁邊」的極限不存在的點。結果，無論是有限次或無限次操作上述的步驟，最終都無法達成我們的目標。這真的真的非常令人沮喪，因為這意味著從一個點的極限不存在出發，去逐步改造出一個處處極限不存在的函數，方向很可能是錯誤的。
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那麼，該怎麼辦呢？
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面對這個問題，當時的我最終並沒有自己解出來，而是一個比過奧數的朋友在老師公布答案之前成功地解了出來，並告訴我他的想法。
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他告訴我，既然從一個點的極限不存在開始是行不通的，那就一次就創造一大堆極限不存在的點吧！例如一開始的函數乾脆設定成這樣：當 x 介在 n 和 n + 1 之間且 n 為偶數時，將其函數值設定為 0，而其他地方則設定為 1。例如，當 x 介在 0 和 1 之間或介在 2 和 3 之間時，其函數值就是 0，而當 x 介在 1 和 2 之間或介在 99 和 100 之間時，其函數值就是 1。如此一來，我們就獲得了一個在每一個整數點其極限都不存在的函數。
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以此為起點，比起我想的那個例子最初的樣子一次新增了無限多個極限不存在的點，似乎好像有了長遠的進步，但到此階段實際上並沒有解決我最一開始講的問題的癥結點，那就是如何在一個極限不存在的點的「旁邊」創造一個極限也不存在的點。
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為了解決這個問題，我的朋友告訴我，下一步是在每一個「區間」裡進行調整。用例子來說明而剩下類推的話，大概是這樣操作：例如，在 0 和 1 之間，函數值原本都是 0，但接下來把這個區間切割成 10 等分，然後第 1、3、5、7、9 個區間（也就是在 x 介在 0 和 0.1、介在 0.2 和 0.3、介在 0.4 和 0.5、介在 0.6 和 0.7、介在 0.8 和 0.9 之間的這幾個區間），我們把函數值調整成 1，其餘的不動，那麼我們就可以得到一個，除了在所有整數點極限都不存在的函數以外，這個函數在 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 的極限也不存在。那如果是在原本函數值為 1 的區間，則在等分割成 10 個區間以後，將第 2、4、6、8、10 個區間的函數值調整成 0。若將上面這些動複製到其他區間的話，那麼在每一個整數區間（就是 n 到 n + 1 的區間）裡面，其十分位數的位置其極限都不存在。
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接下來，再將函數值為 1 的區間等分割為 10 個區間，然後第 2、4、6、8、10 個區間其函數值都調整成 0，而函數值為 0 的區間一樣等分割為 10 個區間，但是是將第 1、3、5、7、9 個區間的函數值調整成 1，那麼，這個函數就變成了一個除了在所有整數點極限都不存在以外，但在每一個整數區間裡面其百分位數的位置極限都不存在的函數。
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再接下來，繼續進行上面的動作，不斷地十等分分割之前產生的區間，並且適當地調整其函數值，使其在任一階段裡面都是前一個區間裡面的函數值是 0 且後一個區間裡面的函數值是 1 ，或前一個區間的函數值是 1 而後一個區間裡的函數值是 0 的狀態，持續無限次，最終就會得到一個在任一點其極限值都不存在的函數了。
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要證明這個函數處處極限不存在有分簡單版和嚴格版，這邊我們先講簡單版，以後有機會再談嚴格版。對於這個函數而言，固定任何一點 a，其左極限只有兩種可能，0 或 1，但因為這個函數被分割地非常地密，而且連續幾個區間在任一階段裡面都是一下子 0 一下子 1 這樣變動，所以這個函數在 a 點的左極限不存在，因此這個函數在 a 點的極限並不存在。最後，因為 a 這個點是任意取的，所以我們可以說這個函數的極限值在任意點都不存在。
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這個答案真的很猛，因為當時在班上只有我那位奧數的朋友給出了教授點頭的答案。
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雖然當初他並沒有辦法清楚地講出左極限不存在的原因，也因為我們還沒學到極限的嚴格定義，所以沒辦法用嚴謹的敘述來證明這樣的函數確實處處極限不存在，但現在回想起來，那位奧數朋友還是很猛！因為他就好像那種天生的小說家一樣，信手拈來就寫出了一本傑出的小說，而我們凡人卻連寫一篇普通的文章都很成問題。
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講到這裡，今天的故事似乎已經講完，但其實還沒，因為這樣聰明的人，並不會只出現我們班上甚至是這個時代而已。
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關於「是否存在一個處處極限都不存在的函數」這個問題，其實在 19 世紀時，就有一位叫做 Dirichlet 的德國數學家，他所創造出來的一種函數（後來稱為 Dirichlet 函數），就是處處極限不存在的函數。這個函數的定義如下：當 x 為有理數時，其函數值是 1；當 x 不為有理數時，其函數值是 0。這樣的函數確實也處處極限不存在，也是我教授當時給同學們預設的答案。
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在這邊我就不文字解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在了，但我有拍一部影片來說明，如果你想繼續看下去，可以點開我貼在本篇文章留言處的這部影片，我有盡量簡單地解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在。
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雖然 Dirichlet 函數處處極限不存在，但其實當初 Dirichlet 所面對的問題，並非「是否存在處處極限不存在的函數」，而是「是否存在無法圖像化的函數」。在經過可能類似這篇文章最一開始的那些推敲以後，Dirichlet 創造了 Dirichlet 函數，而這個 Dirichlet 函數就是一個「客觀存在」但「無法圖像化」的函數。並且，除了無法圖像化以外，Dirichlet 函數在數學上也有著很重要的地位，因為他常常是一些直覺上無法察覺的現象的重要例子。例如我們直覺上都會認為只要函數有週期，那麼就會存在最小週期，但 Dirichlet 函數就是一個不具有最小週期的週期函數，因為任意有理數都是它的週期。
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關於 Dirichlet 函數的性質我們就講到這邊，或許以後有機會可以專門寫一篇跟 Dirichlet 函數有關的文章，不過有很多性質都是需要具備更多數學知識以後才能介紹的，所以如果真的要寫的話，那可能就還要再等一陣子了。
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最後，跟大家介紹一下我上面所提到的影片，那是我在 2020 年時所拍攝的一系列微積分教學影片的其中一集。該系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材，近期我會開始陸續上傳到這裡，但不是每一部影片都會寫文章來搭配，所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看，而且不漏掉系列裡每一部影片的話，可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道；如果你想一次看完我全系列的影片的話，可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道，上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用，如果你想要取得該電子檔的話，請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章，並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論，然後私訊我的臉書粉專，我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
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感謝你的觀看，希望這篇文章對你有所幫助，有任何問題或想法也歡迎在下面留言告訴我。另外，本文章同步發佈於數學老師張旭的 YouTube 頻道社群、微博、今日頭條、Medium 和 HackMD，若你也有上面提到的那些帳號，歡迎按讚、分享和關注！
嗨大家好，我是丈哥
今天要正式進入群的世界
群的概念會從這裡開始一路進行到課程結束
這部影片會先介紹群的定義和一些例子
包含數字有關的群跟矩陣有關的群
也會介紹同餘群、和元素個數為2,3的群
我將參照 John B. Fraleigh 的第 7 版《A First course in Abstract Algebra》
拍攝我自己的講解版本
如果你覺得我的課程對你有幫助
也歡迎分享給對數學有興趣或是要學抽象代數的朋友
【上一部】同構 👉 https://youtu.be/Vd7V0960Fj4
【下一部】子群 👉 https://youtu.be/SMbufrt-K08
丈哥的 YT 頻道
👉 https://reurl.cc/83EKm4
丈哥的 FB 粉專
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丈哥的 IG
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各位同學大家好，我是魔人普物的EJ老師
我的普通物理系列的第二堂課正式上線啦😄
第二堂課會教各位如何去描述一個物體的運動
運動學的專有名詞及定義，在國高中物理就有教了
到了大學普物我們會正式引入微積分幫助我們做運算
為了不讓各位同學睡著，所以我精心準備了有趣的題目
回家作業也頗具挑戰性，希望你們能好好享受思考的過程
【習題解答】
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你們的支持將會成為我繼續推出優質普物課程的動力😊
#運動學 #垂直獨立性 #質點 #微積分 #有初始高度斜拋的最遠射程問題 #進擊的巨人 #瑪莉亞之牆 #砲台 #渡河問題 #淡水 #八里 #圓周運動 #曲線運動 #切向加速度 #法向加速度 #極座標 #相對運動 #角速度 #位置 #速度 #加速度 #速率 #向量 #新竹美食 #座標轉換 #絕對時空觀
【摘要】
本習題練習尋找分段定義的函數的可微/不可微分點
【勘誤】
無，有任何錯誤歡迎留言告知
【習題】
檔案：https://drive.google.com/file/d/1NLt85X7rLilKejNfm_O6Y9OyMyRbZk4t/view
簡答：可在張旭的生存用微積分社團下載
社團： https://www.facebook.com/groups/changhsumath666.calculus
【講義】
請到張旭老師臉書粉專評論區留下你的評論，然後私訊張旭老師臉書粉專索取講義，通過審核即可獲得講義連結 👉 https://www.facebook.com/changhsu.math/reviews
【附註】
無
【丈哥的話】
嗨！大家好，我是丈哥
終於進到微分篇習題了
關於極限跟連續
有很大的一部份是為了微分做準備的
微分篇開始
才算得上是微積分的一大支柱
如果你喜歡我們的教學影片
請幫我分享給更多正在學微積分的同學們，謝謝～
【學習地圖】
【微分篇重點一習題】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXgk6DLLORAcVOYjFnPlIjtt)
習題 1-2 (https://youtu.be/GGe1oywopXQ)
習題 1-4 (https://youtu.be/vBFlI5ss_DA)
習題 1-6 (https://youtu.be/t3Y4VG3i6vM)
習題 1-8 (https://youtu.be/cf1KSuKw4JA)
習題 1-10 (https://youtu.be/vsUPqK42RtE)
【版權宣告】
本影片版權為張旭 (張舜為) 老師與丈哥 (王重臻) 共同所有
嚴禁用於任何商業用途⛔
如果有學校老師在課堂使用我的影片的話
請透過以下聯絡方式通知我讓我知道，謝謝
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#張旭微積分 #微分篇習題 #丈哥講解
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微積分定義 在 [討論] 生活能力... - 看板WomenTalk - 批踢踢實業坊 的美食出口停車場
我不明白是我會的事多、標準高，還是...
還是現在的人生活能力都不夠好，特別是女性.
什麼是生活能力我就舉實例：
1.單車、機車、開車、游泳...會幾種?
2.銀行補辦提款卡存摺、大額匯款、掛失信用卡、無摺存款. 定存...會辦嗎？
3.看懂自己的保險買了什麼、什麼會理賠什麼不賠、划算跟不划算的點，沒
有業務能懂嗎？業務離職的話會自己辦理賠嗎？
4.傳統市場：一堆菜擺起來：青蔥韭菜蒜苗、
小白菜 蜆菜 菠菜 空心菜 地瓜葉 A菜 大陸妹 萵苣 紅菜 高麗菜 大白菜....
假設有人隨便指定三種，能拿對嗎？
那魚呢？鱸魚 剝皮魚 赤宗 紅目鰱 白鯧. 肉鯧 鮪魚...認得嗎？
5.會做菜嗎？還是連荷包蛋都沒煎過？
6.出去玩訂食宿買機票 或是找旅行社會嗎？ 看地圖找路還可以嗎？
7.幫家人或自己辦住出院會嗎？
大致寫這幾類，我發現...30以上還好多種不會的，有點多...
我自己是全部都會，還比這些多，
重複一次：我不確定是我標準高還是我認識的人太弱...各位你自己呢？說說看吧~~
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