（大年初二要幹嘛？深夜教台大學生算數學啊！）
雷翔宇 其實上面全部都算錯了，因為單個為正或為反並非1/2。最大是1/2，則六十籤為約萬分之三。
黃士修 這不叫錯誤，而是做機率的上限估計即可。實際上只會更難，不會更簡單。
雷翔宇 上面各樓的敘述都沒有言及這是上限估計，所以這毫無疑問是個錯誤。
黃士修 可能是你不知道這是常識所以大家其實都不用特地強調……
雷翔宇 上面沒有人說單個筊杯為正或為反是1/2，沒有人以此為前提，也沒有人在答案裡說這是最大值。
黃士修 你可以繼續捍衛自己的微小所知，但沒什麼意義就是了。
雷翔宇 舉例來說，如果單一個筊正反機率為2:1，那麼聖杯就只有4/9的機率，而不是1/2。
黃士修 但是你無從也沒有必要證明每一個細微的物理因素，否則就跟統計的意義背道而馳。
雷翔宇 筊明顯不是個正反面對稱的物體呢 「無從也沒有必要」不明所以
黃士修 對，理論上需要實驗，但實務上沒有必要進行實驗，如果知道「統計」的基本精神的話。所以說，不能讀死書是最重要的。
雷翔宇 黃士修說單一筊杯正面與反面是「『細微的』物理因素」呢，原來是這種認知啊，勉強になりました^_^
黃士修 以大數法則做粗估的話，那確實是細微的物理因素。話說你真的不用這樣崩潰。
雷翔宇 謝謝你豐富我的新春，讓我認識你的閱讀能力，太感謝你了！
黃士修 哪裡，你的閱讀能力要多加強，而且腦袋不能那麼僵硬，否則空讀再多書也無法活用。
雷翔宇 我不知道「你不知道這是常識」是在說什麼是常識，但您就繼續賣弄您自以為是的常識唄。
黃士修 知道自己不知道就好。常識不用賣弄，知識不應賣弄。學然後知不足，教然後知困。知不足，然後能自反也；知困，然後能自強也。
雷翔宇 （拍手）好棒棒！讚讚
黃士修 光是指出問題，沒有進一步思考，這樣是不行的。如果真的要細究這個問題也行，我們來做一個很簡單的思考實驗。
即使凸面因為形狀不對稱的關係，大幅影響笑筊的機率（反之，也大幅影響陰筊的機率），因為聖筊是一凸一平的設計，出現機率會互補，所以聖筊可以穩定維持在50%。
更進一步，假設出現凸面機率為x，出現平面機率為(1-x)，則聖筊的機率為P=2x(1-x)。這是一個開口朝下的拋物線，並且可以透過配方法或算幾不等式求極值。P的最大值為1/2，發生在x=1/2，也就是凸面和平面機率相等的情形。
思考實驗和數量估計都是物理的基本能力，拋物線和求極值則是高中數學的內容。本來不想說那麼多，因為我真的認為是常識。有人堅持要以為我在賣弄知識，那我也只好秀兩手，請這位台大的同學回家多讀書了。
#我可以跟管老師投訴貴校語言學系不用學數學的嗎
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【後記：另一位台大朋友發問，但沒抓到要點】
黃士修 你這樣只有重複指出問題，沒有進一步思考分析。
我示範給你看好了。
Case 1. 假設凸面機率 x=0.5
平面機率 1-x=0.5
聖筊機率 P=2x(1-x)=0.5
Case 2. 假設凸面機率 x=0.4
平面機率 1-x=0.6
聖筊機率 P=2x(1-x)=0.48
Case 3. 假設凸面機率 x=0.3
平面機率 1-x=0.7
聖筊機率 P=2x(1-x)=0.42
如果一只筊杯的平凸機率是七三開，這已經太過明顯，可以用直觀發現這只筊杯有問題。
所以，筊杯的平凸機率是六四開，其實已經是實務上的極限情況，然而聖筊機率卻仍然有48%，非常穩定。
不放心的話，可以再做一次逼近估計。
Case 4. 假設凸面機率 x=0.35
平面機率 1-x=0.65
聖筊機率 P=2x(1-x)=0.455
平凸機率是六成五對三成五，聖筊機率還是超過45%。
故我們可以放心地說，即使形狀或材質大幅影響筊杯的凸面機率，出現聖筊的機率仍然是相當公平的。
它的物理解釋就是，聖筊一凸一平，即使單一筊杯機率不公平，但因為兩個筊杯對稱互補，所以機率穩定公平。
這些，應該都是高中物理和數學的基本功。如果你不熟悉，代表過去讀書的方法不對。不懂得活用，讀再多書、考再多試，也是枉然。
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高中算幾不等式證明 在 Re: [問題] 算幾不等式為何必須限制R+ - 看板tutor 的美食出口停車場
※ 引述《jerrylau (keep it simple)》之銘言：
: 標題: [問題] 算幾不等式為何必須限制R+
: 時間: Sun Mar 5 00:23:28 2006
:
: 若a>0且b>0,則(a+b)/2>=根號ab
:
: 針對ab皆為正實數部分沒有問題
: 我要問的是為什麼不考慮a=b=0呢??
: 感謝回答
:
: 推 beegirl:請問根號0有意義嗎？ 03/05 01:26
^^^^^^^^^^^^^^^^√0當然有意義
我試著來回答你的問題好了
首先...算幾不等式來由是什麼？
瞭解後問題就解決了大半了
算幾不等式源由於：『所有周長相同的矩形中，正方形的面積為最大』
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
a＝0或b＝0，幾何平均數（面積項）為0，這件事情太顯然了
不等式的成立可以說是trivial（無聊），根本沒什麼好證明的...
也只有在a>0且b>0，這個不等式的現象才會"不這麼顯然"
才有探討與論證的餘地....
數學家在陳訴定理時，就我觀察...至少有兩個奇異的偏好
1.話不喜歡講太囉唆 2.不講『無聊話』！
並且考慮a＝0或b＝0時，不等式的幾何意義會喪失
『所有周長相同的矩形中，正方形的面積為最大』這個陳訴
同義於...『同周長的矩形，兩邊的差距越小，其面積就越大』
要深究的就是幾何裡的面積現象，沒有長度又何來面積呢？
以下附上算幾不等式的證明：
設a>0且b>0，(a+b)/2>=√（ab）
pf:此證明可由配方法輕易得到
(a+b) （√a －√b）^2
----- －√（ab）＝ ----------------->＝0
2 2
若且唯若 a＝b，等號成立 Q.E.D.
OK！如果學生是國中生，講這樣就夠了
如果學生是高中生....
我個人認為無論如何都要論證廣義的算幾不等式（使用數學歸納法）
這是一個數學歸納法非常好的練習範例
prove a_1+a_2+a_3+........+a_n
------------------------- >＝ （a_1×a_2×......a_n）^(1/n）
n
for n屬於自然數....
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◆ From: 203.67.110.254
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