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雙重積分體積 在 Re: [微積] 關於牟合方蓋的積分問題- 看板Math 的美食出口停車場
※ 引述《maroondragon (魔力龍)》之銘言：
: 如題，微積分關於重積分的章節常提及有關牟合方蓋(兩半徑相同的圓柱垂直相交)的相交部分體積，及相交兩柱的共同曲面之面積運算
: 之前在網路上有看到關於三柱，四柱甚至到五柱相交部分的體積運算
: 但共同曲面的面積運算，目前只有看到兩柱相交的運算法
: 假使有三個半徑為a，分別以三維座標系的x,y,z軸為圓柱中心軸的圓柱
: 要求這三根圓柱共同部分的曲面面積，應該要怎麼求呢？
所求為12片全等柱面面積
由 x^2 + z^2 = a^2,得 z = (a^2 - x^2)^1/2
其中一曲面參數式為
→
r(x,y) = ( x , y , (a^2 - x^2)^1/2 )
on D = {(x,y)|x^2 + y^2 = a^2, x = y, x = -y 三者所圍出通過一四象限之扇形}
→ →
r_x X r_y = (x/(a^2 - x^2)^1/2 , 0 , 1)
→ →
|r_x X r_y| = a/(a^2 - x^2)^1/2
所求面積為
12∫∫ a/(a^2 - x^2)^1/2 dxdy
D
π/4 a
= 12 ∫ ∫ ar/(a^2 - (rcosθ)^2)^1/2 drdθ
-π/4 0
剩下簡單計算留給你
--
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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1467880775.A.D2F.html
π/4 a
12 ∫ ∫ ar/(a^2 - (rcosθ)^2)^1/2 drdθ
-π/4 0
π/4 a
= 12 ∫ a(a^2 - (rcosθ)^2)^1/2 / -(cosθ)^2 | dθ
-π/4 0
π/4 a^2 (1 - (cosθ)^2)^1/2 a^2
= 12 ∫ ------------------------ + ----------- dθ
-π/4 -(cosθ)^2 (cosθ)^2
又被積式為偶函數:
π/4 a^2 (1 - (cosθ)^2)^1/2 a^2
= 24 ∫ ------------------------ + ----------- dθ
0 -(cosθ)^2 (cosθ)^2
π/4 a^2 (sinθ) a^2
= 24 ∫ ------------- + ----------- dθ
0 -(cosθ)^2 (cosθ)^2
π/4
= 24(-a^2 secθ + a^2 tanθ)|
0
= 24(-a^2 √2 + a^2 + a^2 )
= 24a^2 (2 - √2)
另外wiki上牟合方蓋的英文頁面就有答案:
https://en.wikipedia.org/wiki/Steinmetz_solid#Surface_area
※ 編輯: keith291 (1.162.222.143), 07/07/2016 22:19:15
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