本週的播放清單如下
週一：向量函數的積分
週二：曲面分析與面積分
週三：旋轉體分析
週四：三變數函數的積分
週五：向量函數的極限、連續與微分
以下是可以許願的清單
記得只能許願某個重點，不能直接許一整章
若是有人許過你想許的主題
可到 YT 許願
youtube.com/post/UgxOAnbloHj78w6vjI14AaABCQ
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【積分(前篇)】
重點一 定積分直觀觀念
重點二 奇偶函數的積分
重點三 定積分正式定義
重點四 積分運算性質
重點五 微積分基本定理 I - 先微再積型
重點六 不定積分與反導數
重點七 雙曲函數
重點八 微分表II
重點九 四大積分基本方法之一：變數變換法
重點十 四大積分基本方法之二：三角置換法
重點十一 四大積分基本方法之三：分部積分法
重點十二 積分表
重點十三 四大積分基本方法之四：部分分式法
【積分(後篇)】
重點一 進階積分技巧：高次倍角三角函數積分
重點二 特殊積分形式之其一：含絕對值的積分
重點三 特殊積分形式之其二：含無窮的積分 (瑕積分)
重點四 微積分基本定理 II - 先積再微型
重點五 旋轉體積分
【數列與級數】
重點一 數列與數列的極限
重點二 數列極限的運算性質
重點三 數列連續化求極限法
重點四 夾擠定理
重點五 單調數列與有界數列
重點六 級數
重點七 級數的運算性質
重點八 級數審斂法一：等比級數
重點九 級數審斂法二：p-級數
重點十 級數審斂法三：比較審斂法
重點十一 級數審斂法四：極限比較審斂法
重點十二 級數審斂法五：比值審斂法
重點十三 級數審斂法六：根值審斂法
重點十四 級數審斂法七：積分審斂法
重點十五 級數審斂法八：交錯級數審斂法
重點十六 絕對收斂和條件收斂
重點十七 冪級數
重點十八 冪級數的運算
重點十九 泰勒級數與泰勒定理
【多變數函數的微積分】
重點一 多變數函數
重點二 二變數函數的極限
重點三 二變數函數極限特殊求法
重點四 二變數函數極限運算定理
重點五 二變數函數的連續
重點六 二變數函數的偏微分
重點七 高階偏微分
重點八 偏微分運算律
重點九 多變數函數的微分量 (全微分)
重點十 方向導數
重點十一 梯度與等高線
重點十二 等值面與切平面
重點十三 相對極值、絕對極值和鞍點
重點十四 拉格朗日乘數法
重點十五 二變數函數的積分：二重積分
重點十六 二重積分的極座標轉換
重點十七 二重積分的應用
重點十八 三變數函數的積分：三重積分
重點十九 柱座標與球座標
重點二十 三重積分的應用
【向量微積分】
重點一 向量函數的定義
重點二 向量函數的極限、連續與微分
重點三 向量函數的積分
重點四 曲線分析
重點五 旋轉體分析
重點六 向量場與保守場
重點七 線積分
重點八 微積分基本定理 for 線積分
重點九 格林定理
重點十 梯度、旋度、散度
重點十一 曲面
重點十二 曲面分析與面積分
重點十三 散度定理
重點十四 史托克定理
以上就是能許願的清單
統計到本周六晚上 10 點
結果會在本周日晚上公告
然後下周一至五晚上 6 點在我頻道限時首播
積分技巧 在 Re: [問題] 快速積分技巧- 看板FJU-Math-98 - 批踢踢實業坊 的美食出口停車場
※ 引述《down200n (down200n)》之銘言：
: 真是很刺眼的鑰匙..
: 不說廢話= = https://www.wretch.cc/blog/attoyao/24729252
: ∞
: ∫ x*e^(-ax)*sin(bx) dx , a>0
: 0
: 看到題目 我只想一直做part.. 有請大大說明圖上的方法~~~~~
本來想用推文的，可是會囉哩囉嗦，所以就回文順便賺p幣
=================騙P幣分隔線================================
這題當然是用 integral by parts(簡寫為IBP) 就ok
目前我也沒有去想有沒有其它方法
首先一開始出現的圖就是所謂的IBP
IBP： ∫udv = uv -∫vdu
∞ -ax -ax
∫ x e sin(bx) dx = ∫x d (e / a^2+b^2)[-asinbx-bcosbx]
0
也就是 令 u = x, dv = e^(-ax)sin(bx)dx
則 du = dx, v = 那一串
所以動作就是圖上所畫的 D(表示微分 u) I(表示積分 dv)
第一步 x (u) e^(-ax)sin(bx) ( dv)
第二步 1 (du) 那一串 (∫dv)
至於為什麼圖上所畫的地方有正負號??
原因是因為IPB告訴你 uv- ∫vdu
因此第一步的地方是正，而第二步的地方是負
以此類推，如果這個函數無法用一次IBP算出來
要做很多次的話，就要正負正負的一直算。
==========================騙P幣用的==================================
例: ∫lnxdx
(法一:正規解法)
∫lnxdx = ∫(lnx) dx
= xlnx - ∫x dlnx
= xlnx - ∫x* (1/x)dx
= xlnx - ∫dx
= xlnx - x + C (常數)
(法二:課本解法)
let u = lnx , dv = dx
then du = (1/x)dx , v = x
hence by IBP ∫udv = uv - ∫vdu
=> ∫lnxdx = xlnx - ∫x*(1/x)dx = xlnx - x + C
(法三:速解法)
D I
+ lnx 1
↘
- 1/x → x
=> + xlnx - ∫1dx = xlnx - x +C
以上三種是不是都一樣呢!!??
其實速解法只不過就是法IBP先分解好而已...但有時後還是很好用
請看以下例子
例二 3
∫x sinx dx
D I
+ x^3 sinx
↘
- 3x^2 -cosx
↘
+ 6x -sinx
↘
- 6 → cosx
3 2
=> -x cosx + 3x sinx + 6xcosx - ∫6cosx dx
3 2
= -x cosx + 3x sinx + 6xcosx - 6sinx + C (C為常數)
以正規法解一次
3 3
∫x sinxdx = ∫x d(-cosx)
3 3 3 2
= -x cosx + ∫cosxd(x ) = -x cosx + ∫3x cosxdx
3 2
= -x cosx + ∫3x d(sinx)
3 2
= -x cosx + 3x sinx - ∫6xsinx dx (換∫6xd(-cosx))
3 2
= -x cosx + 3x sinx - (-6xcosx + ∫6cosxdx)
3 2
= -x cosx + 3x sinx + 6xcosx - 6sinx + C
得到一樣的結果!!
============================騙騙騙騙騙================================
最後，你可能會想問要怎麼知道對誰微或對誰積分呢??
這個問題我沒辦法很精確的回答你，但可以簡單的說
就是微分的對象是要越微越簡單的會比較好算!!
也就是大概要挑微分後可能會變常數的函數。
以上就是有關分部積分的簡單說明...
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