【運動物理：滑雪時坡度愈陡，體重愈輕】
今天在網路上聽了一堂很有趣的物理課，金．凡迪維爾教授(J. Kim Vandiver)在課堂上利用公式來解釋兩個有趣的問題。
第一個問題(第一張圖)：「當坡道上的滑車滑下坡道時，滑車上的水面會朝哪一個方向傾斜？是a:保持水平？還是b:跟坡道平衡？或是c:與坡道垂直？」他先讓學生猜，再現場做實驗讓學生們看，最後用公式推導。
答案是b。凡迪維爾教授，用公式解釋是「假想力(fictitious force)」使水面向後移動。假想力事實上並不存在，它是為了方便解釋某些概念或為了方便解題時，所引進的一種概念。例如車子轉彎時車內的人會覺得好像受到一個力(離心力)把自己往外拋，這跟實驗中水面會被某股力向後拉一樣，這股力與離心力一樣都不存在，只是因為慣性所產生的現象。所以離心力、科氏力都是一種方便解釋慣性現象的假想力。
接著他提了另一個問題：「當滑雪選手在滑下角度為θ的坡道時，腳上要承受多少力量？下肢肌肉所花的力量是大於體重(mg)，還是小於體重？」
滑雪選手的體重是mg，也就是身體站立在平地上雙腳所要承受的體重。當他開始滑下坡道後，身體總共受到四種方向的力(第三張圖)：
一、假設此時雙腳所要承受的力道是N
二、滑下坡道的力是「mg‧sinθ」
三、下滑時所造成的假想力(fictitious force)
四、身體對地面施力為「mg‧cosθ」
在這四道力量中，
跟肌肉有關的是第一道的N，
N = mg‧cosθ = 體重×cosθ →坡度(θ)愈大，N愈小
因此，選手在下滑時，肌肉所花的力氣會小於一倍體重，而且當坡度愈陡時(θ愈大時)，選手的腿部肌肉所需支撐的體重就會變得愈小。
跟速度有關的是第二道的mg‧sinθ，坡度(θ)愈大，速度愈快。也就是說，當坡度愈陡時，下滑的速度也就愈快。下滑的速度是從重力加速度(g)來的。
加速度只能從重力來，肌肉只是用來支撐體重(mg)。想要加速移動，就必須把g分配到想前進的方向，分配的比例愈多，腳上支撐的體重就愈少。當坡面變成垂直，失去了支撐，腳上就沒有體重可言了。所以唯有存在「支撐」才能創分前進的分力，這股前進的分力是從重力(g)分配過來的，不是肌肉。肌肉只是用來「支撐」體重。
有興趣的朋友可直接在YouTube上聽講這堂精彩的物理課：
https://youtu.be/zNCBDrnT05E?t=38m41s
科 氏 加速度 公式 在 Re: [請益] 科氏力與柯氏加速度- 看板Physics - 批踢踢實業坊 的美食出口停車場
※ 引述《ruruxxxx2003 (Adrian)》之銘言：
: 在中文維基中
: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9F%AF%E6%B0%8F%E5%8A%9B
: 對於科氏力及科氏加速度的關係中描寫到
: 通常，在慣性系中觀察到的科里奧利加速度ak=2w X Vr，其中w為圓盤轉動的角速度矢量
: ，Vr為質點所具有的徑向速度。可見科里奧利加速度的方向與科里奧利力的方向相反。
: 這是因為，科里奧利加速度是在慣性系中觀察到的，由作用力產生；而科里奧利力則是
: 在轉動的參考系中觀察到的，它產生的加速度是相對於非慣性系而言的。
: 不能認為科里奧利加速度是由科里奧利力產生的。
: 我對這段敘述百思不得其解
: 根據F=ma 加速度的方向不是和力方向應當一致嗎?
: 根據上文的解釋是因為w 和 Vr 的外積相反的關係導致方向相反
: 我知道兩個因子調位方向會相反
: 但為何可以把兩個向量顛倒呢？
: 除此之外在下認為
: 我們觀察到有所謂科氏加速度和科氏力是因為我們站在轉動座標上而觀察到的現象
: 為何處在慣性作標中還會出現柯氏加速度？
: 這問題困擾著我許久，懇請板上朋友出手相助，謝謝。
旋轉座標就不是慣性座標了
會旋轉則表示坐標系會受到一個加速度
柯氏加速度可以用證明出來的
這應該會在鋼體運動學裡面會提到
一個位置向量對時間微分一次會變成速度向量
速度向量再對時間微分一次就會變成加速度向量
這個概念應該一定會學到
但若是這個向量是在一個有ω角加速度的座標之中
對時間微分起來效果就會不同了
舉例來說一個位置向量
→ → → →
Q = xi + yj + zk
→
將Q對時間進行微分的話就會變成
. . . .
→ .→ → .→ → .→ →
(Q) = xi + x(i) + yj + y(j) + zk + z(k)
兩變數相乘的微分是前微後不微再後不微前微沒錯吧
→
若Q是在慣性坐標系裡面
單位向量的微分就會變成0
也就是一般看到變成速度向量的結果
.
→ .→ .→ .→
(Q) = xi + yj + zk
→
但若Q在旋轉座標裡面的話
單位向量的微分會變成角速度向量cross原本的單位向量（向量微分證明我懶得打啦）
所以會變成這個樣子
. . . .
→ .→ → .→ → .→ →
(Q) = xi + x(i) + yj + y(j) + zk + z(k)
.→ → → .→ → → .→ → →
= xi + xω×i + yj + yω×j + zk + zω×k
.→ .→ .→ → → → →
= xi + yj + zk + ω×( xi + yj + zk )
前半就是大家所熟悉的位置向量對時間微分變速度向量
後面則是跑出了在旋轉座標才會出現的項
這個方程式應該會覺得有些眼熟吧
如果速度向量為0（位置向量維持常數）的話
那就變成是切線速度的v=rω公式了
.
→
接著將(Q)再對時間微分的話就會變成加速度向量了
→ .→ .→ .→
這樣則是會跑出一個2ω×( xi + yj + zk )項
過程有些冗長就懶得打上來了
這一項就是所謂的柯式加速度啦
也就是說柯式加速度是運動體在旋轉座標內自己會跑出來的東西
在慣性座標觀察此旋轉座標內的運動體就會看到有一個柯式加速度
而柯式力並不是因為F=ma而產生了柯式加速度
在加速度座標內進行力平衡的時候會出現一些麻煩
像是公車加速前進時會看到車頂拉環會往後移動
可是要在車內（加速度座標）進行拉環的力平衡會出問題
只能找到一個重力和一個張力
完全無法找到讓拉環往後移動的力是從哪邊出現的
所以在加速度座標裡面進行力平衡的話要使用達倫貝特原理
加上一個與加速度相反方向的假想力來達成加速度座標裡面的力平衡（我懶得畫圖啦）
也就是說公車加速向前會在車內（加速度座標）產生一個向後的力
讓拉環看起來會往後水平移動
這個力是不存在的
只能在加速度座標裡面看到
在慣性座標來觀察此加速度座標內的運動情形則毫無問題（我懶得畫力圖與有效力圖啦）
所以將達倫貝特原理放入旋轉坐標系（加速度座標）中
科式力便為旋轉座標內由柯式加速度所產生的假想力
因此科式力與柯式加速度的方向才是相反的
有一個觀念要弄清楚
就是觀察者的位置
若觀察者位於慣性座標中來觀察旋轉座標內的運動體
則不會觀察到有科式力的存在
只會觀察到有個科式加速度
若觀察者位於旋轉座標中觀察運動體
則不會觀察到有科式加速度的存在
而是會觀察到有一個宛如無中生有一般的假想力（科式力）
這個觀念可以由傳說中的離心力去思考
觀察一個旋轉的東西只會看到有一個向心加速度而已（指著圓心）
不會看到有啥離心力
但如果改為在旋轉的東西上來觀察
則是會看到有一個離心力（遠離圓心）
不會看到有啥向心加速度
在旋轉座標裡面是不會感受到自己在旋轉的
就像人在地球上一樣
但當地球上的物體進行移動時
在地球上的人就會觀察到出現了科式力
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On the surface, the scientist invests the power of his mind in a single
miraculous idea and naturally begins to rise above his fellows. But the
parasites say "NO! Discovery must be regulated! It must be controlled and
finally surrendered."
─Andrew Ryan
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