毀掉一個聰明人的方法,是讓他變成「解釋型人才」
A「解釋」的碎片
所謂解釋型人才,是指「根據表面規律,作出夾層解釋,並且愛上自己的解釋」的聰明人。
「解釋型人才」生產兩樣東西:安全感和希望。儘管二者都是錯覺。
對於一個擅長解釋的人,3個最大的陷阱是:光說不練、先入為主、事後歸因。
人類是基於想像的動物。對過去的解釋,對現在的幻覺,和對未來的預測,大多屬於想象的範疇。人們經常不由自主地像「解釋過去」那樣去「解釋未來」。
對於過去,統計比解釋重要;對於現在,行動比解釋重要;對於未來,信念比解釋重要。只有當你懂得了統計、行動和信念時,解釋才變得重要。梗,懸念,故事,傳奇,源自人們對因果的迷戀。藝術誇大了「解釋型人才」的能量。
對現實做太多解釋,就像在風景勝地花太多時間拍照而無暇欣賞。
所謂親密關係,是指你無需向他解釋。所謂自由,是指你無需向世界解釋。
當你試圖解決物理世界的問題時,解釋經常是沒用的;當你試圖解決人類世界的問題時,解釋經常有用。一個企業家要同時解決上面的兩個問題,所有他既要懂「第一性原理」,也要會解釋。即使做出錯誤的解釋,解釋型人才也有可能賺錢並成功,這是人類社會為「解釋的多樣化」所付出的進化代價。
並非我們在解釋大自然,而是大自然在解釋我們。
假如一個「解釋型人才」勇於質疑自己的解釋,並且開放地接納他人的解釋,他就會進化成為科學家或哲學家。關於簡潔的解釋可能會非常複雜。牛頓為瞭解釋他那幾個極其簡潔的公式,甚至不得不發明瞭微積分。
獨立思考者不依賴他人的解釋也能前行。
假如你花了太多時間用「言語」解釋你在做的事情,說明你的事情做得還不夠好。
換而言之,假如你的某個事情做得不錯,即使你自己都解釋不清,別人也會替你解釋得五彩斑斕。對於創造者而言,與其浪費時間解釋自己的創想,不如直接做出來,然後說:看!
一個厲害的「解釋者」,心底都渴望成為一個「被解釋者」;而「被解釋者」則大多沒有類似需求。
不依賴運氣的人喜歡用運氣解釋自己的成功,憑運氣成功的人則千方百計找尋運氣之外的解釋。
我對「解釋」作出了如此多的解釋,證明瞭人類對解釋的深深迷戀。
B.另外一些碎片
因懶而生的勤奮,經常創造思想和發明;因勤奮而產生的懶,令人放棄真正的思考。
聽說某位擅長教育的家長安排好了孩子的每個「10分鐘」,我所知道的另一個爭分奪秒的故事是白羽雞從出生到成才(成為食材)只要40天。
在不確定性的商業世界裏,最大的機會來自:敢賭的人和會賭的人通常不是同一個人。
概率是一種從大量看似無用的噪音中煉金的技術。人們不願意為「讓某事不發生」付錢,只願意為「讓某事發生」付錢。例如,中國80%的醫療費發生在病故前的一個月,儘管預防上多投入1元錢,治療就可減支8.5元,並節約100元搶救費。
「標題黨」盛行,是因為人們幾乎只看標題,甚至買書只看封面。
狗讓人類感知到生命不同形態的新鮮感與一致性。遊戲必須有規則邊界,方能給「無限」以意義。
春秋戰國時期,盛行養門客,看似混入不少「無用之徒」,其實是為了構建「認知冗余」。基於「無用之用」的「有用之用」,更容易枝繁葉茂。
傳統教育最大的弊端,是通過「確定性」毀掉一個人對「不確定性」的理解。這種摧殘通常是不可逆的。
在線支付對街頭乞討是致命的摧毀,但卻催生了百倍的各類「在線乞討」。相同之處是乞討者通常比施捨者更有錢。
詩意一憋可能就淡了,屎意越憋越濃。
名校的本質,是一種高成本的智力測試系統。對社會而言是不合算的,對用人機構來說是合算的。一名設計師(尤其是室內設計師)的首要價值是阻止客戶亂來。
有時候旁觀者清,有時候當局者清。前者有廣度但缺深度,後者有深度但常常迷失於廣度不足。
開竅快和開竅深是兩回事。
人們迷戀喬布斯的簡潔與追求完美,卻忘記了他本人是一個充滿了混亂(也就是隨機性)的人。脫離了隨機性的「簡潔」,就像一把無物可剪的剪刀。
天才是這樣一種人:當他們不幸掉進坑裏,並奮力從中躍出時,發現自己來到了一個比原來地面更高的地方。
有些人、事、事物,你被觸動的第一刻即是其巔峰時刻。別太刻意去二次確認,因為生命本身就是一種無需二次確認的設計。
作者老喻在加
同時也有118部Youtube影片,追蹤數超過2萬的網紅數學老師張旭,也在其Youtube影片中提到,嗨大家好,我是丈哥 這一回來談循環群的主題 主要的目標有三個 (1) 證明循環群只有兩大類 (2) 弄清楚 Z 的所有子群 (3) 弄清楚 Zn 的所有子群 其中的技術部份 由於涉及到基礎數論 以及良置性 (Well-definedness) 的問題 所以會花費比較多口舌在解釋它們 我將參照 ...
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【處處極限不存在的函數】
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我記得自己剛升大一在學習微積分的時候,教授問了一個問題,「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」,那時候我想了很久,總是想不出來到底要怎麼設計,才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是,如果要在任意點的極限都不存在的話,那可能要先解決一個問題,那就是在設計了一個在某一點,例如說 a 點,極限不存在的函數以後,要如何改造這個函數,才有辦法讓 a 點「旁邊」的點其極限也不存在。
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(接下來的內容,建議同學們可以拿支筆在紙上按照說明把函數畫出來)
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舉例來說,如果我們設計了一個在 x = 0 這個點極限不存在的函數(例如設定這個函數在 x 小於 0 時其函數值均為 0;而當 x 大於 0 時其函數值均為 1),那麼要如何改造或調整這個函數,才有辦法讓這個函數在 x = 0 的「旁邊」的點其極限也不存在呢?針對這個例子而言,或許可以這樣做:先將這個函數在 x 大於 1 以後的函數值改成 0.5,那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 1 的時候極限都不存在,但因為 1 並非 0「旁邊」的數字,所以顯然還要再調整,於是我們再將 x 大於 0.5 以後的函數值都改成 0.5,那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 0.5 處其極限不存在,但同樣地,因為 0.5 並非 0「旁邊」的數字,所以我們繼續調整這個函數,下一步當然是將 x 大於 0.25 以後的函數值都改成 0.5,依此類推,再下一步就是將 x 大於 0.125 以後的函數值都改成 0.5,持續這樣的步驟,最終我們會得到一個當 x 小於 0 時其函數值為 0 而當 x 大於 0 其函數值為 0.5 的函數。這個函數當然仍然在 x = 0 的時候其極限不存在,但是原本在調整時的兩點極限不存在,卻因無限持續這樣的步驟,而變回了僅在 x = 0 極限不存在的狀態。這結果實在令人沮喪。
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之所以會產生這樣的狀況,是因為持續了無限次將新增的極限不存在的點向 x = 0 處靠近的緣故。既然如此,那如果不要持續上面的步驟無限次呢?如果僅持續有限次的步驟,那麼在該次步驟的下一次,一定可以把 x = 0 右邊新增的極限不存在的點向 x = 0 再靠近一些,這個推論的結果就是,如果僅持續有限次上述的步驟,那麼就無法達成創造一個在 x = 0 的「旁邊」的極限不存在的點。結果,無論是有限次或無限次操作上述的步驟,最終都無法達成我們的目標。這真的真的非常令人沮喪,因為這意味著從一個點的極限不存在出發,去逐步改造出一個處處極限不存在的函數,方向很可能是錯誤的。
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那麼,該怎麼辦呢?
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面對這個問題,當時的我最終並沒有自己解出來,而是一個比過奧數的朋友在老師公布答案之前成功地解了出來,並告訴我他的想法。
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他告訴我,既然從一個點的極限不存在開始是行不通的,那就一次就創造一大堆極限不存在的點吧!例如一開始的函數乾脆設定成這樣:當 x 介在 n 和 n + 1 之間且 n 為偶數時,將其函數值設定為 0,而其他地方則設定為 1。例如,當 x 介在 0 和 1 之間或介在 2 和 3 之間時,其函數值就是 0,而當 x 介在 1 和 2 之間或介在 99 和 100 之間時,其函數值就是 1。如此一來,我們就獲得了一個在每一個整數點其極限都不存在的函數。
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以此為起點,比起我想的那個例子最初的樣子一次新增了無限多個極限不存在的點,似乎好像有了長遠的進步,但到此階段實際上並沒有解決我最一開始講的問題的癥結點,那就是如何在一個極限不存在的點的「旁邊」創造一個極限也不存在的點。
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為了解決這個問題,我的朋友告訴我,下一步是在每一個「區間」裡進行調整。用例子來說明而剩下類推的話,大概是這樣操作:例如,在 0 和 1 之間,函數值原本都是 0,但接下來把這個區間切割成 10 等分,然後第 1、3、5、7、9 個區間(也就是在 x 介在 0 和 0.1、介在 0.2 和 0.3、介在 0.4 和 0.5、介在 0.6 和 0.7、介在 0.8 和 0.9 之間的這幾個區間),我們把函數值調整成 1,其餘的不動,那麼我們就可以得到一個,除了在所有整數點極限都不存在的函數以外,這個函數在 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 的極限也不存在。那如果是在原本函數值為 1 的區間,則在等分割成 10 個區間以後,將第 2、4、6、8、10 個區間的函數值調整成 0。若將上面這些動複製到其他區間的話,那麼在每一個整數區間(就是 n 到 n + 1 的區間)裡面,其十分位數的位置其極限都不存在。
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接下來,再將函數值為 1 的區間等分割為 10 個區間,然後第 2、4、6、8、10 個區間其函數值都調整成 0,而函數值為 0 的區間一樣等分割為 10 個區間,但是是將第 1、3、5、7、9 個區間的函數值調整成 1,那麼,這個函數就變成了一個除了在所有整數點極限都不存在以外,但在每一個整數區間裡面其百分位數的位置極限都不存在的函數。
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再接下來,繼續進行上面的動作,不斷地十等分分割之前產生的區間,並且適當地調整其函數值,使其在任一階段裡面都是前一個區間裡面的函數值是 0 且後一個區間裡面的函數值是 1 ,或前一個區間的函數值是 1 而後一個區間裡的函數值是 0 的狀態,持續無限次,最終就會得到一個在任一點其極限值都不存在的函數了。
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要證明這個函數處處極限不存在有分簡單版和嚴格版,這邊我們先講簡單版,以後有機會再談嚴格版。對於這個函數而言,固定任何一點 a,其左極限只有兩種可能,0 或 1,但因為這個函數被分割地非常地密,而且連續幾個區間在任一階段裡面都是一下子 0 一下子 1 這樣變動,所以這個函數在 a 點的左極限不存在,因此這個函數在 a 點的極限並不存在。最後,因為 a 這個點是任意取的,所以我們可以說這個函數的極限值在任意點都不存在。
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這個答案真的很猛,因為當時在班上只有我那位奧數的朋友給出了教授點頭的答案。
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雖然當初他並沒有辦法清楚地講出左極限不存在的原因,也因為我們還沒學到極限的嚴格定義,所以沒辦法用嚴謹的敘述來證明這樣的函數確實處處極限不存在,但現在回想起來,那位奧數朋友還是很猛!因為他就好像那種天生的小說家一樣,信手拈來就寫出了一本傑出的小說,而我們凡人卻連寫一篇普通的文章都很成問題。
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講到這裡,今天的故事似乎已經講完,但其實還沒,因為這樣聰明的人,並不會只出現我們班上甚至是這個時代而已。
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關於「是否存在一個處處極限都不存在的函數」這個問題,其實在 19 世紀時,就有一位叫做 Dirichlet 的德國數學家,他所創造出來的一種函數(後來稱為 Dirichlet 函數),就是處處極限不存在的函數。這個函數的定義如下:當 x 為有理數時,其函數值是 1;當 x 不為有理數時,其函數值是 0。這樣的函數確實也處處極限不存在,也是我教授當時給同學們預設的答案。
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在這邊我就不文字解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在了,但我有拍一部影片來說明,如果你想繼續看下去,可以點開我貼在本篇文章留言處的這部影片,我有盡量簡單地解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在。
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雖然 Dirichlet 函數處處極限不存在,但其實當初 Dirichlet 所面對的問題,並非「是否存在處處極限不存在的函數」,而是「是否存在無法圖像化的函數」。在經過可能類似這篇文章最一開始的那些推敲以後,Dirichlet 創造了 Dirichlet 函數,而這個 Dirichlet 函數就是一個「客觀存在」但「無法圖像化」的函數。並且,除了無法圖像化以外,Dirichlet 函數在數學上也有著很重要的地位,因為他常常是一些直覺上無法察覺的現象的重要例子。例如我們直覺上都會認為只要函數有週期,那麼就會存在最小週期,但 Dirichlet 函數就是一個不具有最小週期的週期函數,因為任意有理數都是它的週期。
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關於 Dirichlet 函數的性質我們就講到這邊,或許以後有機會可以專門寫一篇跟 Dirichlet 函數有關的文章,不過有很多性質都是需要具備更多數學知識以後才能介紹的,所以如果真的要寫的話,那可能就還要再等一陣子了。
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最後,跟大家介紹一下我上面所提到的影片,那是我在 2020 年時所拍攝的一系列微積分教學影片的其中一集。該系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材,近期我會開始陸續上傳到這裡,但不是每一部影片都會寫文章來搭配,所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看,而且不漏掉系列裡每一部影片的話,可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道;如果你想一次看完我全系列的影片的話,可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道,上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用,如果你想要取得該電子檔的話,請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章,並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論,然後私訊我的臉書粉專,我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
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感謝你的觀看,希望這篇文章對你有所幫助,有任何問題或想法也歡迎在下面留言告訴我。另外,本文章同步發佈於數學老師張旭的 YouTube 頻道社群、微博、今日頭條、Medium 和 HackMD,若你也有上面提到的那些帳號,歡迎按讚、分享和關注!
微積分證明題 在 Facebook 的精選貼文
#學習的樣貌
今天做了一件我一直以來很想做的事情
「我們今天來玩假裝希臘人的遊戲吧」
早上孩子們吃早餐時,我提出我的點子
「喔,好啊!」
孩子們邊吃早餐邊回應,看起來興致缺缺
可能他們心想: 假裝遊戲我們不是天天在玩了嗎?
吃完早餐喬伊主動走過來問:
「你不是說要假裝成希臘人,那要怎麼玩?」
「我們需要先了解他們才成假扮成他們,我們一起來研究吧!」
接著拿出跟希臘有相關的遊戲書、勝蹟與地圖,搭配相關影片素材,認識他們的地理、歷史、文化、服裝、食物、建築以及語言,就這樣探討了一個多小時 (書籍和影音資料都是前一晚先預備好適合孩子們的內容)。
孩子從原本的興致缺缺,到突然變得很有自己的想法,開始跟我討論他們想怎麼蓋房子,想怎麼裝扮,想嘗試做什麼,我也叫了外送,中餐就以希臘人的裝扮吃著書上提到的希臘捲餅與沙拉,下午還在家裡辦了迷你版的奧運比賽,從食衣住行育樂不同層面去體驗以及認識希臘這個國家。
晚上睡覺前我問兩個小孩:「假裝遊戲好玩嗎?」
他們兩個一起大喊好玩,喬伊緊接著說
「我們下次假裝成西班牙人好嗎?」
我都還沒開口,小孩就主動預約了下一次的假裝遊戲,看來已經點燃國際教育這顆火種了。
#是該買顆地球儀了
/
吃中餐時,喬伊突然問我
「媽媽,你為什麼突然想假裝成希臘人啊?」
我沒想到他會這樣問,我思考了一下才回應他
「媽媽小的時候上地理課跟歷史課時,常常覺得很無聊,沒什麼專心在上課,總覺得這些事情離我很遙遠也與我無關,沒什麼興趣,後來才發現我缺少了連結,所以才覺得無趣,所以我想,如果能親身實踐當地的文化,假裝成當地人去體驗他們的生活,用這種方式去認識一個國家,應該會蠻有趣的。」
「學習有很多種樣貌,坐在教室聽老師上課是一種,我們今天嘗試的也是一種,每個人適合的不一樣,而我喜歡多多嘗試去找到自己的學習之道」
我一直以來都不是成績很好的學生,不是天資不好,而是我不想努力 (喂)
以前我很常問一個問題
「為什麼要學這個? 學這個的目的是什麼? 我的人生會因為不會而這個有影響嗎?」
#好像不只一個問題了
而事實證明,從學校畢業後,所學的科目幾乎都還給老師了(老師抱歉),我到現在還是搞不懂微積分和會計,不過我的生活也沒有因此變得不方便。
但,如今我透過不同的面向找到學習的意義。
像是看了《黃金神威》這部卡通而對愛奴族產生興趣,自己跑去搜尋北海道的相關歷史,甚至在某一次路過原民展時,意外發現泰雅族的紋面與愛奴族十分相近,也讓我對兩者之間的關聯以及地理性產生好奇。
又或是為了搞懂如何教養孩子,而讀了一堆教養與情緒相關的書籍,其中又對猶太人的教養方式特別感興趣,而猶太人的生活圍繞著塔木德,我也跑去買了一本,裡面記載了該族群的歷史與文化,也能跟我每日讀的聖經有所呼應。
對我而言,學習最重要的就是 #動能
又或者說是動機,能啟動好奇心以及對知識的渴望
同時知識的累積應該是層層堆疊上去的
要做到如此就需要有連結
沒有連結,知識就只是生命中的過客
讓我想到在去年分享過
城市浪人創辦人張希慈的一段話
「學習不應該是按規定十五歲、二十歲一定得學會什麼、拿到什麼證書,學習應該是一輩子的事情」
#終身學習 #培養自學力
/
和小孩共讀地圖的過程中發生了一件小插曲
唯可突然把地圖闔上
接著抱著地圖跑走(還一邊賊笑)
我猜可能比較多與喬伊在對話,有點忽略他了
所以他採取這種負向行為來爭取我們對他的關注
我溫和的告訴他
「我們還沒看完,還需要那本地圖,需要你幫我們拿過來,而且你記得是在第幾頁嗎?」
「記得呀!」
他拿著地圖跑回來接著翻回我們剛剛看的那頁
我則是立馬給予感謝的正向關注
「謝謝你唯可,謝謝你讓我們能繼續看地圖,謝謝你的協力」
讓孩子有貢獻的機會,並給予孩子感謝
能同時滿足孩子的歸屬感與價值感
「如果沒有需要調皮搗蛋的理由
也就不需要調皮搗蛋了」
#正念育兒 #正向教養 #意識父母
微積分證明題 在 數學老師張旭 Youtube 的最佳貼文
嗨大家好,我是丈哥
這一回來談循環群的主題
主要的目標有三個
(1) 證明循環群只有兩大類
(2) 弄清楚 Z 的所有子群
(3) 弄清楚 Zn 的所有子群
其中的技術部份
由於涉及到基礎數論
以及良置性 (Well-definedness) 的問題
所以會花費比較多口舌在解釋它們
我將參照 John B. Fraleigh 的第 7 版《A First course in Abstract Algebra》
拍攝我自己的講解版本
這一集比較長
內容比較困難
所以分成 (上)、(下) 二集
如果你覺得我的課程對你有幫助
也歡迎分享給對數學有興趣或是要學抽象代數的朋友
【上一部】子群 👉 https://youtu.be/SMbufrt-K08
【下一部】循環群 (下) 👉 https://youtu.be/FnaTokOC2XE
丈哥的 YT 頻道
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到底是數學出了問題
還是我們出了問題XD
.......................................
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微積分證明題 在 數學老師張旭 Youtube 的最佳解答
【摘要】
本習題練習證明特殊型四次函數有極值
【勘誤】
無,有任何錯誤歡迎留言告知
【習題】
檔案:https://drive.google.com/file/d/1-p3_HoViBhKPOQ15-jVXsjIhymDZqawZ/view
簡答:可在張旭的生存用微積分社團下載
社團: https://www.facebook.com/groups/changhsumath666.calculus
【講義】
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【附註】
無
【丈哥的話】
嗨!大家好,我是丈哥
重點五大家可能比較陌生
雖然是從驗證條件開始
然後可以直接套用定理結束
裡面還是有些東西是要熟悉的
如果你喜歡我們的教學影片
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【學習地圖】
【連續篇重點五習題】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXgIGFlngKmMk3gxmWPKiKCg)
習題 5-2 (https://youtu.be/Od8l4gw9HnI)
習題 5-4 👈 目前在這裡
習題 5-6 (https://youtu.be/ER8ixfaEc2Y)
習題 5-8 (https://youtu.be/KFWSiDDnd6M)
習題 5-10 (https://youtu.be/g9UTzvIjSSw)
【版權宣告】
本影片版權為張旭 (張舜為) 老師與丈哥 (王重臻) 共同所有
嚴禁用於任何商業用途⛔
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#張旭微積分 #連續篇習題 #丈哥講解
微積分證明題 在 #問微積分證明題 - 考試板 | Dcard 的美食出口停車場
數列極限,(b)小題,這是要用什麼方式證比較好?感覺夾擠定理不太對QQ,題目沒給a,b數列的極限,lim|An-Bn|=0我也只知道能推成lim An=Bn. ... <看更多>
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小弟我目前就讀南部某間大學
目標是四大電資類,目前有在補習微積分線上課程
因為補習班進度緩慢所以我有買喻超凡的(翻轉微積分)在家自修
但目前剛讀就遇到一個問題就是每讀完一個段落我就會開始寫後面的習題,只要是有給我數字的我都還算ok
不過只要是遇到那種要我證明/敘述/討論的我就會直接掛掉,我事後看詳解都會覺得這在考試出來我跟本完全沒想法,我自認觀念我都已經讀熟了,但還是對這類問題沒辦法
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我想問有轉考過的各位我這樣是正常的嗎?還是說我的讀法錯誤?甚至是我根本沒讀熟?希望各位給我一些建議
感恩
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