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【張旭講轉考微積分，Day 005】
【台聯大 A2 卷 106 計算第 1 題，多變數函數極值】
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最近
我開始每兩天上傳一部轉考微積分影片的計劃
每部影片後面都有類題
同學們看完可以一起練習一下
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今天這部是台聯大轉學考 A2 卷的題目
重點在於多變數函數極值
不夠熟練的同學建議來看並練習類題
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這系列影片其實在我 YT 頻道上
已經開跑一段時間
如果要跟上最新進度
請 YT 🔍 數學老師張旭
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所有社群平台官方關鍵字：
👉 數學老師張旭、張旭病毒發源地
👉 changhsumath、changhsumath666
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張旭老師的線上教學平台
google 🔍 張旭無限教室
這題計算量很大
解題 SOP 也很長
但台聯大幾乎必考
考前記得一定要重點強化
這一定是決勝關鍵
今年 7 月要轉考有微積分的同學們
我們一起衝！
這個系列會解台大、台綜大和台聯大的轉考微積分考古題
每次影片都會講一個題型，而且會出一個類題讓大家練習
這個類題會在下次的影片開頭講解
要轉考的同學們跟著我一起衝吧！
沒意外的話我每天都會上片
薄積而厚發
希望這樣的影片對同學們都能有所幫助
一起加油！
上一題 👉 https://youtu.be/gc6uaT6iohY
下一題 👉 https://youtu.be/EmWha3mO0i4
張旭的 FB：https://www.facebook.com/changhsumath
張旭的 IG：https://www.instagram.com/changhsumath
張旭無限教室線上教學平台
👉 https://changhsumath.com
微積分多變數函數的局部極值on the closed ball. 數學. 2021年11月10日23:46. 想請問這題，我藉由second derivative test,找到critical point: {(0,0),(1,1)}, ... ... <看更多>
多變數函數極值 在 極值判別法則Part 1 - 看板trans_math - 批踢踢實業坊 的美食出口停車場
※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之銘言：
: 偏微分求極值時，判別式大於零之外，
: 還要看fxx如果>0就是極小，反之
: 請問為啥要看fxx不看fyy?
: 遇到一題變數不是x.y不知道該看哪個(不過都正)
[我先給 Part 1, 假使有必要後面還有 Part 2-5.]
以下將講多變數函數世界裡頭的極值判別法則，而單變數中的極值判別法則相對於多變數
中的極值判別法則來的簡單，故省略。
(引理) 命 f：S → |R, 其中 S is open in |R^n with a in S, 且 f 於 ａ 點有方向
導數。若 f(ａ) 為極值點，則
D_u f(ａ) ＝ 0.
↓ kth component
特別地，選取 u ＝ u_k ＝ (0,...,1,...,0), 則 D_k f(ａ) ＝ 0 for all
k ＝ 1,2,...,n. 也就是說，此時 ▽f(ａ)＝0.
因此，欲深究一內點 ａ 是否為極值點，我們就必須先假定 ▽f(ａ)＝0. 再來回憶
f(ａ＋ｋ) ＝ f(ａ) ＋ ▽f(ａ)．ｋ ＋ (1/2!) ＜Hｋ,ｋ＞ ＋ R_ａ,2(ｋ),
其中 H ＝ H(ａ), Hessian matrix of f at ａ.
NOTE. 只要談論到極值問題往往就會涉及到泰勒定理(具備餘項)。
(主定理)
假定 ▽f(ａ)＝0, 即 ａ 點為 critical point, 且二階偏導數 D_i,j f(ｘ) 存在於
B(ａ), 且連續於 ａ 點上。
(1) 若 ＜ Hｋ,ｋ＞ 恆正 for all ｋ ≠ 0, 則 f(ａ) 為 local minimum.
(2) 若 ＜ Hｋ,ｋ＞ 恆負 for all ｋ ≠ 0, 則 f(ａ) 為 local maximum.
(3) 若 ＜ Hｋ,ｋ＞ 有正有負，則 ａ 點為 saddle point (鞍點)。
(鞍點定義) 若 ａ 為 critical point 且對於任意的 B(ａ) 中有點 ｘ, ｙ 使得
f(ｘ) ＞ f(ａ) 且 f(ｙ) ＜ f(ａ)
則稱 ａ 點為鞍點。
由此可見，鞍點必定不是極值點。
Proof. 我們需要兩個 lemmas:
(lemma 1) 若 H＞0，則必存在一正數 c, 使得＜ Hｋ,ｋ＞ ≧ c|ｋ|^2 for all ｋ.
(lemma 2) |R_ａ,2(ｋ)|/|ｋ|^2 → 0 as ｋ→ 0.
由上述兩引理，可證明此主定理。
NOTE.
(i) 由二階偏導數 D_i,j f(ｘ) 存在於 B(ａ), 且連續於 ａ 點上, 可知 H 為對稱
矩陣，即 H^t ＝ H.
(ii) 對一個對稱矩陣 H 而言，
當 ＜ Hｋ,ｋ＞ 恆正 for all ｋ ≠ 0, 我們稱 H 為正定，且記為 H ＞ 0.
當 ＜ Hｋ,ｋ＞ 恆負 for all ｋ ≠ 0, 我們稱 H 為負定，且記為 H ＜ 0.
(正定原文為 positive definite, 負定原文為 negative definite.)
因此根據上述主定理可知：
當 ａ 為 critical point 時，且 Hessian matrix H(ａ) ＞ 0 表示
f(ａ) 有局部極小。
簡記為 {▽f(ａ) ＝ 0} ＋ {H(a) ＞ 0} ＝＞ f(ａ): local min.
當 ａ 為 critical point 時，且 Hessian matrix H(ａ) ＜ 0 表示
f(ａ) 有局部極大。
簡記為 {▽f(ａ) ＝ 0} ＋ {H(a) ＜ 0} ＝＞ f(ａ): local max.
(iii)
╭ D_11 f(ａ) ．．． D_1n f(ａ) ╮╭ k_1 ╮ ╭ k_1 ╮
＜Hｋ,ｋ＞ ＝ ＜ │ ．．． ．．． ．．． ││ ． │ │ ． │＞
╰ D_n1 f(ａ) ．．． D_nn f(ａ) ╯╰ k_n ╯ ,╰ k_n ╯
n n
＝ Σ Σ D_ij f(ａ) k_i k_j.
i＝1 j＝1
即 H:|R^n→|R by H(k):＝ ＜Hｋ,ｋ＞. 如此之 H 稱為二次型 (Quadratic form.)
(iv) 主定理告訴了我們一件重要的事情：在主定理的假設底下，餘項對我們來說一
點也不重要，也就是說餘項不會影響到函數本身的極值問題。即腦海要想著
f(ａ＋ｋ) ～ f(ａ) ＋ (1/2!) ＜Hｋ,ｋ＞ (因 ▽f(ａ) ＝ 0)
這樣一來，f(ａ＋ｋ) － f(ａ) ～ (1/2!) ＜Hｋ,ｋ＞.
因此，f(ａ＋ｋ) － f(ａ) 的正負可由 ＜Hｋ,ｋ＞ 決定之。
(v) 最後提到一點線性代數，他將用在 Part 2 裡頭的推論 1.
對一個對稱矩陣 H 而言：
H ＞ 0 ＜＝＞ H 的所有 eigenvalues 都必須恆正。
H ＜ 0 ＜＝＞ H 的所有 eigenvalues 都必須恆負。
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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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