早安！快打開你的LINE測試看有沒有成功啊！
週一一早最療癒的本日最廢？隱藏大發現不能只有我會啊！操作教學，你所不知道的LINE，竟然會幫你加減乘除，甚至是還會先乘除後加減，而且括號還會先算的好有才華喔！快學會馬上敲同事炫給他們看，硬要走的比他們前面！哈
-
各位觀眾！繼去年LINE首度開放隱藏版功能訊息文字可以變粗體、斜體，甚至是變粗又變斜後，這陣子，LINE又偷偷更新了全新功能～就是會幫你加減乘除還會先乘除後加減，甚至是括號先算的有夠生活智慧王的曹蘭王月到你家，如果你在跟朋友收會錢、收團購費，甚至是催繳欠款、收代購費的時候，你今天開始，就不用再打開電腦裡的計算機功能，直接在LINE的對話框中，就能直接換算啦！
-
首先複習一下，在LINE中，要讓訊息變粗體方式：
在欲想要顯示的文字前後加上 "*"，例如「*Goris*」，Goris就會變粗囉！
另外，如果，在LINE中，要讓訊息變斜體方式：
在欲想要顯示的文字前後加上 "_"，例如「_Goris_」，Goris就會變斜囉！
-
比較好玩的是全新功能的加減乘除還會先乘除後加減括號先算，這剛好是前幾天，我跟我朋友在講一些金額的時候，我就不小心打出類似"1000+1000="，結果LINE就自己跑出2000！
-
就類似你上面看到的數字，你可以輸入任何你想要的加減乘除，真的是無論很難乘的、很難除的之類....LINE都會在你輸入後，秒幫你計算成功，還會變粗體，惟你有看到我上面有一大串的什麼968698巴拉巴拉*48696巴拉巴拉之類的....，那個好像就超出LINE的計算範圍了，就無法計算！哈哈
-
基本上LINE會幫你加減乘除，甚至是還會先乘除後加減，柔後括號先算之類，就是非常基礎的數學它都會，但我朋友忽然跑出一個問題是開根號？
-
結果測試之後....無法！哈哈哈，太難的數學LINE應該就是不會算了，就是很基礎的數學，基本上LINE都ok。
-
蠻有趣的，有興趣的可以嘗試一下，然後這LINE的加減乘除，還會先乘除後加減，甚至是括號先算，我測試過了～僅限LINE桌機版適用，手機版是無法的喔。
-
https://goris.pixnet.net/blog/post/44545410
大發現！操作教學你所不知道的LINE會幫你加減乘除還會先乘除後加減括號先算
-
早安早安！只能說今天新聞大概除了謝淑薇拿下女雙冠軍外，完全不期待還會有什麼好事了，就讓我發篇生活小確幸吧！我覺得從現在到11點，甚至是11點到晚上，就是一堆看了讓我很頭痛的紛紛擾擾而已，覺得煩。
先乘除後加減括號 在 Re: [問卦] 要如何向小朋友解釋”先乘除後加減”？ - 看板Gossiping 的美食出口停車場
※ 引述《Sidney0503 (Sidney0503)》之銘言：
: ※ 引述《khfcgmbk (三毛兒)》之銘言：
: : 剛剛我在交一個小朋友算數
: : 他覺得很奇怪為什麼要先乘除後加減
: : 我只能跟他解釋算出來答案會不一樣
: : 像是
: : 1+1x2=3
: : 而答案不是4
: : 但我也忘記當初老師怎麼解釋先乘除後加減了
: : 有沒有鄉民可以教我？
: : -----
: : Sent from JPTT on my iPhone
: 簡而言之
: 就跟他說因為自然數加法是abelian group的operator
: 此operator存在加法單位元素0 即a+0=a 而且有交換性 即a+b = b+a
: 乘法放進去是ring的第二operator
: ring的定義是第二operator(*)對於第一operator(+)具有分配性
: 所以 a*(b+c)=a*b+a*c
: 但是加法對乘法沒有分配律 因此如果加法沒有括號起來就沒有分配的另一個對象
: 所以a+(b*c) = a+ b*c
: 也是一般所謂的乘法有優先權
: 很簡單吧
這篇回文寫得不錯，不過這次遇到的問題比較像是「為何定義這樣定？」
因此容敝魯再多補充一些，把細節講清楚，但略過部分的證明。
首先，因為 Ring 的定義本來就是從整數 Z 複製過來，然而 Z 又是從正整數 N 構造的，
因此本篇文主要回答在 N 上的「先乘(除)後加(減)」問題。
（知道 Z 是 N 的 quotient set 的，應該就知道敝魯的意思。
不知道的也沒關係，此非本篇重點）
Step 1:正整數之定義與正整數上的運算
數學家當初發展集合論的時候，便想要把所有數學世界的物件都回歸集合，即使是最自然
存在的正整數也不例外。一般最耳熟能詳的正整數定義就是皮亞諾公理，在此用比較口語
化的方式來表述之。
Definition: (Peano Axioms)
正整數是一個集合 N，並且滿足以下五個條件。
a. N 裡面有一個數字 1
b. 存在一個「後繼函數」S: N → N，此時對每個 N 裡的數字 n，S(n) 稱作 n 的後繼者
c. 如果有兩個數滿足 S(m) = S(n)，則 m = n （亦即 S 是 injective）
d. 在 N 裡面，不存在任何數字 n 使得 S(n) = 1 （亦即 1 不落在 S(N) 裡面）
e. 若有一個 N 的子集合 K 滿足以下兩點：
(1) 1 在 K 裡面
(2) 如果數字 n 在 K 裡面，則 S(n) 也會在 K 裡面
則 K = N （亦即在 N 上可以作數學歸納法）
如果有鄉民現在看不懂，你可以先偷偷地把 S(n) 想成 n+1，這樣應該就全看懂了~
上面的定義完全沒有觸及到正整數的運算，現在我們來定義加法。
Definition: (Addition on N)
我們定義一個二元運算 + 如下：給定一個正整數 n，定義
+: N x N → N
(1,n) → S(n)
(S(m),n) → S(+(m,n)) if +(m,n) is defined
根據皮亞諾公理的 e，此 + 的定義域成功擴展到 N x N，並將 + 稱作正整數上的加法
另外為了方便，我們將 +(m,n) 書寫成 m + n，因此 S(n) = 1 + n。
Theorem: (Properties of Addition)
以上定義的加法 + 滿足下列兩件事情。
a. 對任意的正整數 k, m, n，都有 (k + m) + n = k + (m + n) （亦即有結合率）
b. 對任意的正整數 m, n，都有 m + n = n + m （亦即有交換率）
證明就是用數學歸納法來證就可以了，這留給有興趣的鄉民自己作作看。
我們定義的加法只有二元運算，也就是一次只能兩個數字加起來，遇到要加超過三個數字
就必須使用括號，告訴我們是誰先加誰後加。不過因為有結合率，先加後加沒有差別，因
此加法就省略括號了。
接著我們來定義乘法~
Definition: (Multiplication on N)
我們定義一個二元運算 * 如下：給定一個正整數 n，定義
*: N x N → N
(1,n) → n
(S(m),n) → *(m,n) + n if *(m,n) is defined
根據皮亞諾公理的 e，這個 * 的定義域擴展至 N x N，此時稱 * 為正整數上的乘法
為了方便，我們將 *(m,n) 書寫成 m*n，就是大家熟悉的乘法記號囉~
Theorem: (Properites of Multiplication)
以上定義的乘法 * 滿足下列三件事情。
a. 對任意的正整數 k, m, n，都有 (k*m)*n = k*(m*n) （亦即有結合率）
b. 對任意的正整數 m, n，都有 m*n = n*m （亦即有交換率）
c. 對任意的正整數 k, m, n，都有 (k+m)*n = (k*n)+(m*n) （亦即有乘法對加法
以及 k*(m+n) = (k*m)+(k*n) 的分配率）
這三條的證明同樣可以使用數學歸納法，此處省略之。
另因為乘法也是定義成二元運算，所以當我們要處理三個數字相乘時要使用括號告訴我們
誰先乘誰後乘。不過有了結合率後，我們也在這邊省略了括號了。
讀到這邊，各位應該可以發現其實上述定義其實也沒這麼神秘，因為加法就是照我們的常
識去定義的，乘法也是照我們所熟悉的「反覆累加」來定義，因此應該都算直觀 :)
記得有一位鄉民在原文有問「為何加法對乘法沒有分配率？」，相信這邊應該已經充分地
回答了他的問題了。（因為算一下就會發現沒有Q_Q）
Step 2: 先乘(除)後加(減)?!
其實一切的根源都來自括號省略的問題，當一堆二元運算碰在一起的時候本來就要加上括
號來搞清楚操作的順序。目前我們知道加法連續操作跟乘法連續操作都可以分別省略括號
那問題當然就來自加法跟乘法的混合操作了，也就是 k+m*n 究竟應該代表
(k+m)*n 還是 k+(m*n) 呢？
（能問出這種問題的小朋友蠻不錯的，有在動腦而不是死板的把知識吞下去）
我自己的認知也如同原文，是問題來自乘法對加法的分配率
首先，假設我們遇到下列這個算式
(x + y + z + w)*n
如果我們規定這種類型的算式（就是中間幾個加都可以）可以省略括號，變成
x + y + z + w*n
那究竟這個沒有括號的算式是代表下列哪一個算式呢？
x + y + (z + w)*n
x + (y + z + w)*n
(x + y + z + w)*n
沒人知道，而且這三個答案很可能都完全不同，因為用分配率寫開來分別變成
x + y + (z*n) + (w*n)
x + (y*n) + (z*n) + (w*n)
(x*n) + (y*n) + (z*n) + (w*n)
這顯然是差多了，因此在這種情形下可以省略括號很容易帶來不必要的麻煩，所以此情形
我們約定不省略括號。
那麼，如果是下面這種算式
n + (x*y*z*w)
省略了括號會怎麼樣呢，變成
n + x*y*z*w
那會不會誤會成
(n + x)*y*z*w
呢？並不會，因為我們已經在前面約定好這種形狀我們是不省略括號的，如此一來
n + x*y*z*w
只會有一種意思了，就是 n + (x*y*z*w)。
那你可能會問說，其他的形狀呢？比如說
x*u + y*v + z*w
是從誰省略過來的呢？我們知道因為有分配率的緣故，因此如果原本算式長成
x*(u + y)*(v + z)*w or x*u + y*(v + z)*w
之類的，括號都不該省略。因此它只能是 (x*u) + (y*v) + (z*w)，才不會造成岐義。
因此，這樣我們成功確立了「先乘(除)後加(減)」的合理性。
不過上面都沒講到減法跟除法呢，這是為何？因為在正整數 N 上沒辦法全域定義減法跟除
法，所以上面就先略過了。不過在有理數 Q 上就有全域的減法以及除法了，建構方法也是
從 Z 過去的，因此有分配率（詳情參考我快兩年前寫的一篇文，但那篇疑似消失了）
從這樣的觀點去看，就有「先乘除後加減」了~
希望這篇文可以解決各個鄉民在前面討論的一些疑惑 :)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.43.82.250
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1518076948.A.972.html
※ 編輯: CKLee (114.43.82.250), 02/08/2018 16:10:23
※ 編輯: CKLee (114.43.82.250), 02/08/2018 16:12:09
... <看更多>