一位令歐美科學界敬仰的「南宋惡人」
歷史春秋網
作者:滄海明月生
桃花影落飛神劍,碧海潮生按玉簫。
這是《射鵰英雄傳》裡桃花島主黃藥師的武功寫照,除了出神入化的武功,這位狂傲的宗師對天文地理、五行八卦、奇門遁甲、琴棋書畫甚至農田水利都無一不精,堪稱複合型的學霸。
《神雕英雄傳》是金庸的成名作,以南宋、蒙古、金國三方勢力的角逐作為歷史背景。小說中黃藥師的出場,大約處於南宋的第四位皇帝宋寧宗當政時期。
巧合的是,這一時期的歷史裡也有一位多才多藝的學霸橫空出世。他弓劍嫻熟、精於星象音律、算術詩詞及建築營造。更為契合的是,黃藥師被視為亦正亦邪的狂士,這位學霸也一度被世人認定是劣跡斑斑的惡人,但在幾百年後卻被大洋彼岸的科學界集體敬仰。
一樣的天縱英才,一樣的毀譽參半。除了沒有一個冰雪聰明的女兒,這位學霸幾乎可以視作小說裡黃藥師的原型。
他就是南宋著名的數學家秦九韶,一位被聲名耽誤的天才。
一、英武少年
秦九韶是四川安岳人,他出身官宦世家,父親秦季棲是進士出身。公元1219年,主政巴中的秦季棲遭遇了軍士嘩變,一介書生的他只得攜家小棄城逃走。歷經數年的輾轉後,秦季棲到了都城臨安,朝廷不僅沒有治罪反而將他提拔為潼川知府,並命他舉家重返四川。
秦九韶的傳奇,就是從這時開始的,那一年他18歲,正值熱血沸騰的年紀。
此時的南宋,在西北一帶同時防範蒙古與金國兩方強敵。在蒙古的快馬彎刀之下,陝西、甘肅大部已被突破。潼川由於地形險峻被視作戰略要地,為此朝廷特意從西南募集了幾千名精壯的民兵,戰時隨軍禦敵,閒時作為民夫修建工事。這支民間武裝的首領,就是年輕的秦九韶。
能統領這樣一支隊伍,秦九韶絕對是有兩把刷子的。他生性聰慧好學,少年時就研習了大量的天文曆法典籍,又潛心學習土木工程,這些都轉化成了他安身立命的技能,手下的軍士對此都心服口服。
秦九韶是典型的別人家的孩子。他不僅理論知識過硬,軍事素質也相當優秀,他的馬術、騎射、劍術玩兒得非常溜,以致於當時的人們都以豔羨的語氣評價他:「遊戲、毬、馬、弓、劍,莫不能知」。
公元1236年,蒙古大軍攻入成都,四川的大部分州府都遭淪陷。此前的一系列戰鬥中,秦九韶展現出了職業軍人的素養,時常冒著箭雨指揮自若,就如他後來追憶的那樣:「歷歲遙寒,不自意全在失石間」。
如果人生照著這樣的軌跡前行,投身軍營的秦九韶多半會落得為國捐軀的結局。然而隨著從戰場調離到地方,秦九韶最終在數學領域突放異彩。
二、數學天才
在四川任職期間,秦九韶就已經展現出了數學方面非凡的天賦。
《郪縣誌》記載了這樣一則故事:公元1231年6月,郪江沿岸暴雨成災,當地一處名為核桃壩的地方,有兩個農夫為洪水沖毀的田界發生爭執。經過現場勘驗後,秦九韶發現各自為三角形合在一起的「三斜田塊」,被洪水沖成了不規則的田地。於是,他運用豐富的幾何知識,算出了田地的面積,再將其等分劃出了令兩人都滿意的邊界。
除此之外,民間還留下了諸多秦九韶的傑作,譬如杭州西溪有一座「道古橋」,就是由他設計修建的。對於秦九韶而言,這些不過是牛刀小試而已,真正令他揚名天下的,是一部名為《數書九章》的奇書。
公元1244年,在南京任通判的秦九韶,因母親去世回鄉守孝三年。遠離了政治紛擾的他,在研究曆法時發現年份越遠,曆法的誤差也越大,其根源就在於算術不夠精準。為此,他用三年的時間,完成了二十多萬字的《數書九章》,一經問世便引起了轟動。
即便是幾百年後的今天,這本《數書九章》裡蘊含的知識,也足以令學渣們抓狂。
比如書中的「三斜求積術」就是已知三角形的三條邊長,求三角形的面積,沒點兒幾何知識真還無從下手。令人驚嘆的是,秦九韶總結出的公式,與當代課本上的算法幾乎一致。而且他提出的配分比例和連鎖比例的命題,至今還有很強的現實意義。
《數書九章》共有9個門類,囊括天時、田域、測試、賦役、軍旅等與社會生活相關的內容。9類中又提出了9個問題,共計81道數學題,秦九韶在書中不止提出了問題,又精心地講述瞭解題原理和步驟,在給出答案的同時還有思路延伸。
如果南宋的科舉考試有數學的話,這本《數學九章》絕對是賣得脫銷的熱門書籍,可能連小朋友都人手一本,相當於當代的「奧數」。
《數書九章》裡的內容,涵蓋了如今初中甚至大學裡的數學課程。除了小數、複數、還有最小公倍數、代數運算,高次方程等。
這部著作代表了中世紀世界數學發展的最高水平,其中的「大衍求一術」領先西方數學家高斯554年,「正負開方術」比英國數學家霍納的解法早了572年。現代的數學家梁宗巨曾經這樣評價《數書九章》:「那時歐洲漫長的黑夜猶未結束,中國人的創造卻像旭日一般在東方發出萬丈光芒。」
三、毀譽參半
公元1248年,聲名遠播的秦九韶被宋理宗召見並得到了賞識,而他也由此成為中國歷史上第一位被被皇帝召見的數學家。
此後的秦九韶被提拔在江南一帶任肥缺,聲色犬馬的熏染使得他逐漸在官場中迷失了自我,變身為同僚們口誅筆伐的大惡人。
秦九韶早年還是文學青年,寫得一手好詞,因此與南宋晚期的詞家劉克莊相識。劉克莊的詞風豪放,充滿了愛國主義情懷,但在秦九韶成名以後,卻遭到了劉克莊的猛烈抨擊。
經過這位文壇大咖的宣傳,秦九韶為人不仁、不義、不孝、不廉」,甚至後來社會輿論還對他進行了人身攻擊,說他’暴如虎狼、毒如蛇蠍、非復人類」。更離奇的如「多蓄毒藥,如所不喜者,必遭其毒手」。
在諸多文字的渲染下,秦九韶的惡名似乎是被實錘了。
在這些記載裡,秦九韶橫行鄉里魚肉百姓,多次被取消任命;他利用自己在數學領域的特長攫取了上司的田產;更勁爆的是,秦九韶命屬下殺死親兒子,為此還精心地設計了毒殺、溺死、用劍自裁的三種方案。
趕上這樣蛇蠍心腸的老爹,手下人覺得太變態了就沒下手,私放了他兒子,秦九韶得知後竟巨額懸賞追殺。
從秦九韶的仕途經歷來看,他精於算計醉心官場權鬥,絕不是個善茬,但抹黑他的劉克莊也不是道德模範。南宋的政壇一直分為主戰派和主和派,秦九韶與樞密使吳潛交情深厚,主張武力抵禦蒙古,在詞裡高唱愛國的劉克莊卻依附權臣賈似道,積極沖當詆毀主戰派的鼓吹手。
四、死後哀榮
公元1268年,被貶至廣東梅州的秦九韶淒惶離世。由於生前遭遇的輿論攻擊太多,秦九韶死後,《宋史》和所有的地方志都沒有為他立傳,就連現在的學術界也將他視作有道德污點的天才。
從某種意義上說,秦九韶的悲劇也是南宋朝廷悲劇的縮影,如果因為黨派因為政見不合就置國運於不顧相互攻擊,那麼亡國之禍也為時不遠。
秦九韶死後的第八年,南宋滅亡。
令人唏噓的是,沒有被中國古代主流價值觀認可的秦九韶,在西方科學家的眼中卻得到了前所未有的尊敬。德國著名的數學史家康托爾稱讚他是「最幸運的天才」,美國著名的科學史家薩頓認為」秦九韶是他所在的民族,他那個時代,最偉大的數學家之一」。
時光荏苒,如今的安岳縣為秦九韶修建了紀念館。這位曠世奇才在幾百年後,終於以光輝正面的形象被世人銘記。
(本文由「歷史春秋網」授權「知史」轉載繁體字版,特此鳴謝。)
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🌀投資思維筆記-規模的規律和祕密🌀
之前看到一篇名為《誰將是地球上第一個“99萬億美元市值”的公司?》的文章,主要是在討論現在的大型科技公司為什麼可以解決生物學上面的「重力限制」,這種限制是指在生長的過程中,生物體長大到某一個程度,會再也支撐不住被自己壓垮。而這套邏輯套用到企業上面也說得通,當一家公司成長的規模大到某一個程度之後,也有可能被自己的規模給限制或壓垮。
為什麼目前的大型公司,卻看似可以擺脫這個詛咒呢?一直無限的擴張下去形成超級巨獸呢?在這篇文章中,答案就是現在的超級大公司就是超級AI。在2007年以前,全球市值最大的公司前三名分別為Exxon,GE與Miscrosoft,但到了2017年,前三名變成Apple、Alphabet與Miscrosoft。
這些公司利用所蒐集到的大量數據資料,形成一個數字化的大腦,就解決了一般生物體先天上受到重力限制、反應太慢與速度太慢的三個問題。也可以稱她們為超個體,或超有機體(由許多有機體組成的有機體系)。以往個別公司所考慮的是公司本身的利益而以,但是換到了超個體公司,它們思考的是如何解決全世界的問題,考慮的是全人類的利益。而在這些超個體公司逐漸形成的過程,最後到底會帶給我們什麼?是很值得去思考的問題。
讀完後馬上連想到萬維剛介紹這本《規模的規律和秘密》這本書,本來對這本書沒有很高的關注,但是聽完之後卻超有興趣,因為我平常都是邊開車邊聽專欄,這本書我還聽了兩次,覺得每次重聽都有收穫。紀錄一下專欄的內容:
這本書的主要內容是將物理學中的基本的思維方式,所謂「尺度分析」的概念,並將其應用在跨領域的學科之上,包括生物學、社會學和經濟學。若以數學公式來表達,則表示為:
Y = cXk
這個公式表示 Y 和 Xk 的 k 次方成正比,物理學家把這個公是稱之為「標度率」,其中的k決定了整個系統的性質。如果 k=1,那就是線性關係,可以按照簡單的比例放大;如果 k>1,就叫做超線性關係(superlinear);如果 k<1,就叫做次線性關係(sublinear)。
🔆全書最根本的思想,就是世間萬物通常都不能按照簡單的線性比例放大。
舉例來說,如果有一棵樹,這棵樹不可能可以按比例越長越高、越長越粗,因為樹的體積和重量,是跟樹的立方成正比,樹的支撐力量是由樹的橫切面積決定的。應用到其他的生物體上,我們就可以知道,特別重的生物,腿就得特別粗才可以。
或是舉另外一個例子,一個人的體重與他吃藥的劑量之間也往往不是成簡單的正比關係,藥物的劑量應該和體重的2/3次方成正比。作者在書中舉了一個例子,在1962年有人想研究LSD這種迷幻藥對於大象的影響,因為當時已經知道體重1公斤的貓使用LSD的安全劑量是0.1毫克,所以他就給大象注射了300毫克的LSD。結果只過了一個小時,大象就死了。
🔆壽命的定數
我們可以再進一步討論「生長」與「壽命」。為什麼我們從小孩到成人,發育時長高長得很快,但是到某個年紀之後就不太可能再繼續長高了?或是,為什麼不管科技怎麼進步,人類的壽命都沒有辦法顯著延長呢?
答案可能是因為我們人類在生長過程中,所吸取的能量可以分成繼續生長與維持已有的身體,而當身體長到某一個程度時,吸進來的能量已經跟不上生長的速度,而只夠用於維持已有的身體,才會造成這個現象。而在生長的過程中,新陳代謝與不可抗力的衰老因素讓我們無法避免死亡的結果。
討論完個體的規模,書中又將尺度分析的概念延伸到城市與企業。但是,為什麼城市就是越大越好,但企業卻不一定越大就是越好呢?
🔆大城市就是要「夠大」
如果用城市的標度率來表達大城市的特點,我們可以看出,城市的基礎設施與人口呈現的次線性關係,表示大城市比小城市更節省基礎設施,但是城市的產出卻與人口呈現超線性關係,大城市可以吸引大量的人口流入,而因為人口的因素,大城市的產出可以比城市規模的擴張還要快。
當人口密度越大,人與人之間的連接點越多,生意就越好做,規模優勢越大,產出當然更豐富。如果城市人口規模擴大了100倍,基礎設施只需要擴大50倍,而城市的產出卻可以擴大200倍。想要讓系統(不管是生物、城市或是企業)發展壯大,汲取的能量必須大於消耗的能量,就像一家公司要持續成長,成長必須是建立在資產報酬率大於資金成本率的前提之下,不然成長反而是一種負效果。
🔆公司的宿命
在這本書中,企業的標度率,可以建立在銷售額與雇員之上,銷售額就是企業汲取的能量,勞力成本就是企業消耗的能量,而剩下來的,就可以用於企業的成長。
結果研究顯示,銷售額,正比於企業雇員人數的0.98次方,差不多就等於 k=1。之前我們提過,當k=1時,代表Y與X呈現簡單的線性關係。這也代表對公司來說,並沒有什麼明確的力量推動公司越來越大,也沒有什麼明確的限制要求公司有固定的壽命。
但是,事實上我們了解公司的發展階段,通常在一開始增長都會很快,但是到某一個程度後會從成長期轉變為成熟期,增長率漸漸固定下來。作者認為,大公司的銷售額和成本都跟雇員人數成正比,是一個危險的關係,就好像一個老人,面對衰老的過程最後也會面臨死亡。大公司隨著市場波動,也會變得脆弱,一旦發生意外狀況就有可能會倒閉。
公司的標度率同樣也意味著所有公司死亡的概率都是一樣的。物理學家甚至據此給公司算了一個「半衰期」,一般美國上市公司的半衰期約10.5年,這代表我們任意追蹤數個上市公司,每經過10.5年,它們就會死亡一半。這個半衰期跟行業別、公司大小或上市時間都沒什麼關係。一般來說,若再去計算一間公司要存活一百年的機率,則大概是百萬分之四十五。
到底為什麼公司的標度率 k=1?目前還沒有辦法有具體的解釋。因為我們從很多投資的書籍都可以看到,長期持有一家有競爭優勢(護城河)的公司股票,可以讓我們享受到複利帶來的巨大回報。但是,一間公司的護城河可以維持多久,以書中的概念來看,或許還是要看公司是否具有不斷創新的能力,如果因為規模大到一定程度,而不再冒險創新,而依賴現有的業務模式,就可能會漸漸面對到生物體的結局了。
🔆規模決定了生物體的能量汲取能力、力量和壽命。
規模決定了城市的產出、基礎設施和發展前景,規模,也能決定公司的宿命。生物體、城市和公司表面看來好像千變萬化,但是其實都符合某個特定的規律,這本書利用簡單的數學與生動的例子來說明較為複雜的概念,可以讓我們去理解這個規律,反思規模帶來的效應與應對方式,主動掌握自身的成長與命運。
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Wow! 滿滿滿的會考數學重點吔😍
來來來,紙筆趕快準備好!
數學科會考精華重點,
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數學科會考30天衝刺重點
考前最後30天,
建議同學,調整好生理時鐘,
讓自己的大腦習慣
在10:30到11:50這段時間算數學。
切記每次考試前都花10分鐘的時間快速總複習,
把公式、重要性質、常忘常錯的地方,
用這個關鍵10分鐘掃過一遍。
考前最後30天以算新題
培養對沒看過的題目的臨場反應為主,
有錯的題目訂正完,
把關鍵寫在考前10分鐘的快速總複習筆記上,
下次考前再複習一次!
以下是會考精華重點,
這些重點不只會在選擇出現,
還可能出現在非選!
好好把握下列重點,
拿到數學滿分的成績單時別太意外!😂
1.正負數與數線:
「絕對值」代表「到原點的距離」、
「相減取絕對值」代表「兩點距離」
這種代數轉幾何的考法總是考不膩;
科學記號的應用問題通常都會搭配四則運算;
新舊數線轉換切記「差成比例」!
2.因倍數與公因倍數:
質數的判定、互質的判定還有短除法請熟練;
難題用標準分解式處理!
3.分數:
四則運算切記「先乘除,後加減,但次方優先!」,
還有括號的處理務必「由小到大」且小心變號!
4.一元一次方程式:
一元一次式的「化簡」切記「只能通分,不能同乘」;
應用題考列式也很常見。
5.二元一次方程式:
基本的分式解聯立請小心隱形的括號;
近年來也常考三格漫畫的應用問題,命中不用太訝異!
6.坐標平面:
基本的象限考正負;點的移動x右加左減,y上加下減;
「點到x軸的距離」=「y坐標取絕對值」,
「點到y軸的距離」=「x坐標取絕對值」;
水平線y相同,鉛直線x相同;
還有最常考的二元一次直線方程式畫圖!
7.比與比例:
雙比例問題考到爛,務必調整到符合題意。
8.函數:
線型函數應用問題可以利用「差成比例」處理!
9.一元一次不等式:
有基本的一元一次不等式求x範圍;
進階有天平問題和水量的應用問題。
10.乘法公式與多項式:
利用乘法公式求值請用力觀察數字之間的關聯性;
多項式長除法也很愛考;因式倍式關係要會看。
11.二次方根與勾股定理:
基本的化成最簡根式、有理化、四則運算要熟;
進階的根號估計也是大熱門;
勾股定理近年來都搭配後面幾何一起考。
12.因式分解:
通常喜歡考提公因式因式分解,再搭配次方的運算請小心。
13.一元二次方程式:
基本的十字交乘、配方法解x;
給兩根求方程式用倒帶;
觀念題小心消去未知數可能會減根。
14.等差數列:
基本的循環用除法看餘數、
等差數列換首項公差處理、
等差數列求和都是基本款;
近幾年等差數列喜歡搭配不等式請小心!
15.平面幾何:
對稱圖形不難;
外角定理在角度的計算超常用;
中垂線性質到兩端點等距、
角平分線性質到兩夾邊等距考到爛!
30度 - 60度 - 90度 邊長比「1:根號3:2」必考!
多邊形內角和、正多邊形內角和外角
要算到不小心背起來;
正六邊形、正八邊形、正12邊形
都是近年來考試重點。
16.三角形:
三角形兩邊之和大於第三邊、
大角對大邊小角對小邊偶爾會出;
三角形的全等證明要有考非選的心理準備。
17.平行與四邊形:
遇平行線延長會比較容易看;
平行時,同位角、內錯角相等,
同側內角互補超常用;
遇梯形常做的幾種輔助線要複習。
18.相似形:
常見的相似三角形組合要複習;
解題利用相似形的
「對應角相等」、「對應長成比例」、
「面積比等於對應長度平方比」這些性質;
要宣告三角形相似用相似性質,
要宣告非三角形的多邊形相似
則要一一檢查每一個對應角都相等,
每一個對應邊都成比例!
19.圓形:
考扇形、弧長、弓形算是基本款;
考相切要想到(1)垂直(2)切線段等長;
圓周角、圓內角、圓外角、弦切角也都很常考;
兩圓相切要連接兩圓圓心和切點;難題想到對稱性!
20.三角形的三心:
(1)外心:
到三頂點等距;
直角三角形外心在斜邊中點;
等腰三角形的R要會求;
角度可以利用圓周角和圓心角關係,
或是等腰三角形處理。
(2)內心:
到三邊等距;
r 的兩種求法請複習;
長度還可考求切線段長;
角度可利用角平分令x、x、y、y;
面積的兩種考法請複習。
(3)重心:
長度想到2比1,
面積想到六塊小三角形面積相等
21.二次函數拋物線:
開口的方向和大小要會看;
配方法求頂點求最大最小值必考!
考平移要想到
(1)看頂點的移動(2)開口不變a不變;
難題想到對稱性!
22.立體圖形:
近年來喜歡考空間觀念中的展開圖;
考角柱算是中規中矩;
靈活考題可能會搭配水量甚至考不等式!
23.統計:
給原始資料、給表、給直方圖、給圓餅圖,
中位數都要會求!
盒狀圖和圓餅圖也很常考,
特別是盒狀圖常會問四分位距的相關問題!
進階喜歡考圖形的轉換;
還有對稱圖形的平均數和中位數會相等!
24.機率:
列表討論、畫表格、畫樹狀圖必可解!
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この映像授業では「【中1 数学】 資料の整理8 有効数字とは?」が約9分で学べます。この授業のポイントは「全数調査は「全員調べる」、標本調査は「一部を調べる」」です。映像授業は、【ポイント】⇒【例題】⇒【練習】⇒【まとめ】の順に見てください。
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■「中1数学」でわからないことがある人はこちら!
・中1数学 正の数・負の数
https://goo.gl/ZYh7oF
・中1数学 加法・減法
https://goo.gl/fPdVf2
・中1数学 乗法・除法
https://goo.gl/W5TfW1
・中1数学 四則演算
https://goo.gl/IKTZTB
・中1数学 文字と式
https://goo.gl/44YCfW
・中1数学 文章題と図形問題
https://goo.gl/UylVQs
・中1数学 文字を含んだ式
https://goo.gl/iij9FU
・中1数学 等式と不等式
https://goo.gl/bqV2sz
・中1数学 方程式
https://goo.gl/s8FoQA
・中1数学 方程式の移項など
https://goo.gl/pUdpM9
・中1数学 方程式の文章題
https://goo.gl/xlIUKW
・中1数学 比例と反比例
https://goo.gl/JkX9ha
・中1数学 比例のグラフ
https://goo.gl/5zu5Jo
・中1数学 反比例のグラフ
https://goo.gl/ZYo2qY
・中1数学 比例と反比例の文章題
https://goo.gl/hHBNx0
・中1数学 平面図形
https://goo.gl/Pb7d0R
・中1数学 空間図形
https://goo.gl/WQEAM9
・中1数学 資料の散らばりと代表値
https://goo.gl/36I3JV
・中1数学 近似値と有効数字
https://goo.gl/Kxj7uE
■「中2数学」でわからないことがある人はこちら!
・中2数学 式の計算
https://goo.gl/0kYGrD
・中2数学 単項式の計算
https://goo.gl/Zj7REc
・中2数学 文字式の乗法・除法など
https://goo.gl/2h0Mj3
・中2数学 連立方程式
https://goo.gl/kQyDvt
・中2数学 連立方程式の文章題
https://goo.gl/MBg0ha
・中2数学 1次関数
https://goo.gl/2QCSNd
・中2数学 1次関数のグラフ
https://goo.gl/z8xJPb
・中2数学 直線の式
https://goo.gl/GV6bi7
・中2数学 2元1次方程式
https://goo.gl/PxH6HO
・中2数学 1次関数の文章題
https://goo.gl/eILPkI
・中2数学 図形の性質
https://goo.gl/8V4rbJ
・中2数学 図形の合同
https://goo.gl/RZCuIr
・中2数学 図形の証明のコツ
https://goo.gl/C4FXWD
・中2数学 三角形の証明
https://goo.gl/bIKD6R
・中2数学 平行四辺形の証明
https://goo.gl/G8PYjO
・中2数学 三角形と四角形の関係
https://goo.gl/hdSWgb
・中2数学 確率
https://goo.gl/qLyj7y
・中2数学 確率・組合せ
https://goo.gl/84wAvC
・中2数学 確率・余事象
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■「中3数学」でわからないことがある人はこちら!
・中3数学 単項式・多項式の計算と乗法公式
https://goo.gl/PqOeNg
・中3数学 素因数分解
https://goo.gl/WAo2pO
・中3数学 因数分解
https://goo.gl/UTDgS7
・中3数学 因数分解を用いる問題
https://goo.gl/y94OIM
・中3数学 平方根・ルートの計算
https://goo.gl/NnuL52
・中3数学 平方根・ルートの乗法・除法
https://goo.gl/LCNzmT
・中3数学 平方根の有理化
https://goo.gl/30nSRA
・中3数学 2次方程式・解の公式
https://goo.gl/pZMVBr
・中3数学 2次方程式・因数分解
https://goo.gl/8GHWRP
・中3数学 2次方程式の文章題
https://goo.gl/XIffWs
・中3数学 2次関数の基本
https://goo.gl/AfM7dY
・中3数学 2次関数の文章題
https://goo.gl/fUIFGH
・中3数学 図形と相似
https://goo.gl/loMY18
・中3数学 平行線と比
https://goo.gl/2Z07pZ
・中3数学 相似の証明
https://goo.gl/9QMDGl
・中3数学 中点連結定理
https://goo.gl/WENFvl
・中3数学 面積比と体積比
https://goo.gl/scz78c
・中3数学 三平方の定理
https://goo.gl/6BXryP
・中3数学 円周角と接線
https://goo.gl/4PyQtE
・中3数学 円の性質と証明
https://goo.gl/rJ8NZw
・中3数学 標本調査
https://goo.gl/kr1bUK
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この映像授業では「【中1 数学】 方程式8 文章題(余り)」が約12分で学べます。問題を解くポイントは「1 求められているものをxとおく 2 「=」で結べる式を探す」です。映像授業は【ポイント】⇒【例題】⇒【練習】⇒【まとめ】の順に見てください。
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