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【想像力是你的超能力，愛因斯坦經典想像實驗：沒有窗戶的電梯】#關鍵專欄
在想像實驗中，愛因斯坦充份展現了他的天份，判斷現實經驗中哪些最為重要、哪些可以捨棄。我們來看看他最著名的想像實驗：於1907年開始構思的電梯想像實驗。
愛因斯坦指出，在沒有窗戶的電梯內，我們無從分辨電梯在重力場中是靜止或以等加速度上升；接著他推測這兩種狀況下的物理定律一定完全相同。根據「等效原理」，在這個區域裡，也就是電梯內，重力的效應與無重力狀態下的加速度相同。
#愛因斯坦 #科學 #想像實驗
第四部分「為何感覺不到地球公轉？牛頓：重力平衡向心力；愛因斯坦：如何分辨重力場和加速度」
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終於來到本文最後一個問題：為何感覺不到地球公轉？前港大理學院院長郭新教授曾經指出在Google上搜尋問題的解釋當中，找不到一個是正確的。
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他發現網絡上的答案大多說「根據慣性定律，不可能測試慣性參考系是否正在移動」。可是地球並非慣性參考系，因此用慣性定律去解釋是不嚴謹的。利用牛頓力學，正確的答案是「太陽吸引地球以及地球上所有人類的力，完美平衡了地球（和地球上的人）公轉所需的向心力」。
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可是我們可以追問：有沒有比牛頓力學更基本的解釋？有的，而且與之前討論過的炮彈思想實驗有關。這就要由愛因斯坦（Albert Einstein）的另一個思想實驗說起。
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愛因斯坦可說是利用思想實驗的專家。在1907年，即是他發表狹義相對論的兩年後，他想像有一部升降機，裡面有個可憐的人。突然，吊著升降機的纜繩斷掉，升降機裡面的人會失去了重力的感覺，「漂浮」了起來。
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然而我們知道，這是因為升降機和他都以相同的加速度向下自由落體。而如果升降機真的在空無一物的宇宙深處之中，以與地球重力加速度同等數值的加速度向「上」加速，那麼他就會被升降機的地板向「上」推，使他感覺到與身處地球表面一樣的體重。
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如果他看不到升降機外面的環境，他就不可能分辨自己究竟是在外太空被升降機地板向「上」推，還是與升降機靜止在地球表面。換句話說，任何物理學實驗都不可能分辨他「究竟這是在重力場中的自由落體，還是漂浮在遠離任何星體的宇宙空間裡」！
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愛因斯坦後來稱這個思想實驗為他「一生中最快樂的思想」。透過這個思想實驗，愛因斯坦驚訝地發現，在局部的情況下，沒有任何實驗能夠分辨重力場和加速度。
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換句話說，重力場就是加速度，加速度就是重力場，兩者是「相同的物理現象」！這個發現被稱為等效原理（equivalence principle）。等效原理是他在1915年發表廣義相對論的核心概念。
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地球正在向太陽「墜落」、太空站也正在向地球「墜落」。根據等效原理，我們不可能在局部情況下分辨到底地球或太空站究竟是正在「墜落」、還是在遠離一切重力場的宇宙空間之中。因此，我們不可能感覺到地球正在環繞太陽公轉，因為如果我們能夠感覺到地球公轉的話，就等於說我們能夠分辨重力場和加速度！
所以「為何感覺不到地球公轉？」的答案，是因為等效原理。不過要留意，這只是理論上的解釋。等效原理只會在無限小的局部（locality）環境中成立。但升降機並不是無限小的（這一點相信不用解釋）。
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源自一個星球的重力吸引方向是向心的。但在升降機裡的各個物體的加速度卻是平行向「上」的。因此，如果在升降機的兩側各放一個蘋果，我們就可以從兩個蘋果相距的距離分辨出升降機到底是在真正無重力的宇宙空間中，還是正在地球重力場中作自由落體。
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隨著時間過去，如果升降機真的在宇宙中，真的沒有重力作用於兩個蘋果之上，它們之間的距離就應該維持不變；如果升降機是在自由落體，指向地球中心的重力就會作用於兩個蘋果之上，而這兩個力並不是平行的，因此它們之間的距離就應該漸漸縮短。
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當然在現實中並不可能進行升降機實驗，但我們仍然能夠從一些自然現象中找出端倪。例如潮汐漲退就是地球、月球和太陽三者的重力效應，所以潮汐就是地球真正位於重力場裡的證據。
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但這仍只代表地球在重力場之中，並不代表地球正在公轉，地球可能是在直線向太陽墜落。加上之前提過的地球自轉，以及星星、太陽和月亮的周日和周年位置變化，我們就能得出地球必然正在公轉的結論。
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同理，我們感覺不到整個太陽系都在環繞銀河系中心公轉的原因，也是基於等效原理。
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最後，如果想用天文觀測證明地球會公轉的話，其實並不太困難。試試輪流遮住左眼和右眼看同一件物件，會發現物件相對背㬌的位置有所改變，這叫做視差（parallex）。利用相同原理，在相距半年的時間內，觀察同一顆星星相對背㬌星空的位置，我們會發現會有細微的變化。
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因此，結論仍然是「人類相比宇宙實在太渺小了」。
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【物理選擇題答案】一連幾道物理選擇題，我都選擇了比較多誤解的問題，希望以此糾正錯誤觀念，以及提醒大家一點：我們習慣的解釋、或者社會上約定俗成的事，其實並不必然正確。
這一題應該是比較困難的一題，只有16%答對，而選了慣性原理(C)的比例更達76%。前港大理學院院長郭新教授也曾指出，簡單搜尋網絡上的「答案」，基本上是完全找不到正確解答。
地球環繞太陽公轉，而太陽亦環繞銀河系中心公轉，因為地球運動並非「直線」，牛頓第一運動定律「慣性原理」並不適用。克卜勒行星運動定律(B)純粹描述行星運動軌跡。哈勃定律(D)則是描述宇宙膨脹的法則。
能夠解釋我們感覺不到地球在宇宙中運動的原理，是愛因斯坦廣義相對論的等效原理(A)。由於地球整體處於往太陽的自由落體狀態，根據廣義相對論，在局域情況下，沒有實驗能夠分辨重力和加速度。當然，實際上地球並非一個點，如果使用非常非常精密的儀器還是可以探測得到，在地球表面不同地方落下的物體，相對太陽落下方向有所不同。
#時間 #黑洞 #平行世界
各位大家好，歡迎來到HenHenTV的奇異世界，我是Tommy。
最近重看了一次星際穿越Interstellar，以前看的時候真的很不明白，但是這次再看回就比較明白一些，開始對於裡面的理論感到好奇，究竟他們是以什麼理論來拍攝這個電影呢？
這個電影裡面講到的有幾個我們都好奇的東西，時間，引力，平行世界還有黑洞，而這些理論很巧妙的把它們聯繫在一起，我們今天就來說這幾個東西吧！
先說時間，我們好像明白時間但卻又好像從來沒有認識過什麼是時間，我們在有文明以前就以太陽出現的時間為一個標準，或是以星星月亮等等的運行為一個計算單位。其實時間最主要就是三個因素，過去，現在還有未來，而且從來沒有人可以證明時間是在‘流動’的，那在物理裡面，他們對於時間的觀點是怎樣的呢？
如果是這樣，那麼我們就要在愛因斯坦的狹義相對論開始說起，狹義相對論裡面和牛頓力學不同，他加多一個維度，就是時間軸，裡面只有兩個基本的原理
光速是恆定的
大家知道光速是C=30 x 108 m/s，這個原理就是，無論是這樣的情況之下（除了引力之外，我們會在下個理論講到）真空或是經過空氣之中，光速都是恆定的，都是一秒30萬公里。
狹義相對論
這裡的另外一個原理就是移動的物體，和靜止的物體，它們相對的時間會不一樣，打個比方，如果以光速的來回為計算方式，那麼彈回來原點就是一個時間單位，但是移動的東西所彈回來的時間會稍微長了一點，所以這裡就是產生另一個情況，就是時間膨脹。
如果用一個靜態的人的時鐘去測量一個低於光速移動的人，如果這個移動的人也有帶著時鐘，那麼他的時鐘一定會比靜止的人慢，但是對於他來說，在他的移動空間裡面還是一樣的，物理上沒有任何改變。
我來舉一個簡單的例子：
如果我在地球上拿着同一款非常精準的原子鐘，而我朋友則是搭上太空船遠離地球，他在太空船空間裡面的時間是兩年，裡面的食物還是兩年，人也只是老了兩歲。
但是在地球上的我，卻是過來四年，那麼當他回來後，是否是好像穿越了兩年後的未來呢？
那如果我也是像我朋友一樣，搭上太空船與他相反的方向離開地球，我們的時間過得會一樣快。
那麼有人就有提出一個叫雙胞胎悖論，如果一對雙胞胎，弟弟留在地上，哥哥做太空船低於光速離開地球後再回到地球上，那麼哥哥可能就是比弟弟年輕了，是這樣的嗎？
但是事實上狹義相對論只適合用於直線均衡速度的運動，因為哥哥的太空船中途加速，U-turn或減速然後回到地球上，所以並不是適合用這個理論來解釋，
所以就要和另外一個理論來解釋會比較完善，那就是廣義相對論，
廣義相對論裡面講的也是兩個非常簡單的理論。
引力是和加速值是同等的。
打個比方，如果我們坐進電梯裡面，如果電梯上靜止不動，地球的引力會落在我們身上，那麼我們會靜止不動，是因為在我們身上會有向上的支持力，所以我們才會在原地不動（牛頓引力）
當電梯上以N的速度往上升時，那麼加速上升會造成支持力變大，但是其實你是分不清究竟是引力變大還是因為加速上升造成支持力變大，愛因斯坦就把這兩者歸為等效。
這就是等效原理。
到這裡大家明白我講什麼嗎？
光線彎曲
就好像我們之前所講的狹義相對論裡面講的，如果是移動的太空船，對於靜止的人，他的光束落在的地方不同，這裡在廣義相對論裡面加進了引力，好像剛才的理論所說的，如果加速值和引力是等效的，那麼意思是如果在引力非常大的地方，它的時間會比普通引力的地方會過得非常的慢。
我們來看廣義相對論的方程式如何解釋引力導致時間變慢的理論，打個比方，M = 質量無限大的物體， 如果有兩顆不同的星球在離這個無限大質量的物體不同的距離，T1是遠一點的星球上的時間，而T2則是進一點的星球。
GM就是代表這個質量無限大物體的引力數值，而R就是離比較靠近星球的距離，C =光速。
它的方程式如下：
T2 = T1 √(1-2GM/c²r)
大家先不要覺得燒腦，你只需要以最簡單的數學來想這件事情就可以了。
2GM/C²r 必須大於一，如果√ 下面是負數，那麼是除不到的。
如果r需要大於1，那麼r就是距離必須要大過光速除於2GM（就是M的引力數值），那麼得出來的結果就是T2是小於T1，那麼意思是什麼呢？如果距離約靠近M，那麼它的時間就會相對的變慢。
如果剛好R = 2GM/C²r，那麼就是說結果會是√0，也就是T2 =0,那麼就是說在這個距離，對於其他人來說，這個星球上的人的時間是靜止的。
很神奇吧！
這裡就可以解釋道在星際效應裡面，為什麼他們去到接近黑洞的星球，回到太空船上面已經過了35年，以這個理論來說，如果人類接近在黑洞的引力邊緣，也就是再前一些就會掉進黑洞裡面永遠出不來了，對於其他人來說，你的時間是靜止的。那麼是否你在那裡就不會衰老了嗎？
以廣義相對論的方程式還有一個未解之謎，那就是如果在超過了黑洞的引力邊緣，那麼時間就會變成虛數，如果時間是虛數的話，那麼究竟在裡面會發生什麼事情呢？這個在電影裡面有假設，他掉進一個好像平行世界的空間裡面，而這個平行空間可以穿越過去和過去的自己對話。
回來我們說的時間，我們是以人類衰老的速度來衡量時間，還是我們的細胞對於引力的轉變變成停止衰老呢？還是引力加快了我們身體的新陳代謝？而減慢了我們衰老的速度？
我在上兩個平行世界的影片也有講過，現在我把三個影片關聯在一起，平行世界裡面可能會有另外一個我，如果量子可以同時存在在不同的時空裡，那量子時空的就有可能把兩個世界暫時連接在一起。像我之前在平行世界的影片裡面有假設：如果兩個平行世界的時間是不存在的，並沒有以前或是現在，而是只有快和慢的假設呢？
那麼以今天的這個廣義相對論，就可以解釋會否有比較快或比較慢的平行世界了，只要那個平行世界是越靠近質量無限大的物體時，那麼它的時間可以變慢，甚至靜止了。那麼平行世界的記憶重疊也可以用這集更加的完整解釋了。
如果這個讓你可以去到這個時間靜止的空間裡面，當時間是無限時，你會做什麼呢？那是否你回到地球時，地球早已過了100年呢？時間是單向的，並不可以穿越過去，而過去所發生的事情，就已經過去了。
在星際效應裡面，他進入了黑洞裡面，傳送到一個時間為虛數的五維空間，可以看到他以前的還沒去外太空之前的情景，還用引力和摩斯密碼來傳送黑洞裡面的量子質料和，和引導過去的他去到太空研究站等等。
到現在我終於比較明白這個電影了。
就算時間可以靜止，對於不會利用時間的人來說，還是一樣的。其實時間還是一樣在流動，只是兩個的物理上覺得不一樣而已。相同的，如果一個人很會利用時間來做有意義的事情，那麼它的時間才有價值。
時間可以忘記傷痛，可以改變一個人，也可以讓一個人成長，以前小的時候，就希望快快長大，當長大過後，就希望時間變慢一些，一年一年的過去，看到撫養我們長大的父母開始老了，你多麼希望可以把它們送到黑洞的邊緣，那麼我們就可以和父母一同老去，但是卻可能30多年不能看到他們。
無論什麼物理方程式都好，沒有什麼是可以敵過時間的，還是那一句，學會珍惜時間，珍惜和家人的時間，還有屬於你的時間。
好啦！今天就是平行世界的完結篇，原本只是想寫黑洞的原理，竟然湊巧的讓平行世界的兩部影片完整了，人生就是這樣，你永遠都不知道下一步會發生什麼事情，大家看完這平行世界的三部曲，有什麼希望我講的主題嗎？歡迎大家留言建議，我會試著做的。我們下個奇異世界見，Bye
爱因斯坦在研究自由落体运动时，想到了等效原理：物体处于引力场中，等效于存在相反方向的加速度。利用这个原理，爱因斯坦把狭义相对性原理进行了拓展 ... ... <看更多>
等效原理 在 [好雷] 消失的23年－從星際效應看等效原理- 精華區movie 的美食出口停車場
圖文網誌版 https://bimeci.pixnet.net/blog/post/190069590
消失的23年－從星際效應看等效原理
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星際效應（Interstellar；2014）是諾蘭繼黑暗騎士（The Dark
Knight；2008）、全面啟動（Inception；2010） 、超人：鋼鐵英雄
（Man of Steel；2013）等膾炙人口的作品之後所執導的最新年度鉅
作。
【星際效應電影海報】
克里斯多夫諾蘭（Christopher Nolan） 電影最為人稱道的地方
，就是故事架構龐大複雜，表現強烈的思考性邏輯卻又能引人入勝。
「星際效應」不僅融合多元科幻元素，更嘗試把相對論、黑洞、時空
旅行等艱難深奧的物理學理論加以連結，以電影藝術的方式普羅具像
化呈現大眾面前，格局大膽而創新，令人印象深刻。
【Christopher Nolan】
為了考究電影科學，諾蘭特別邀請了物理學家基普索恩（Kip
Thorne）擔任劇本顧問。索恩是當今世界上天文物理學領域的領導者
，他以黑洞、重力波、蟲洞和時間旅行的理論研究為基礎，讓星際效
應的劇情增添不少科學根據，把科幻電影帶入了更高層次的嶄新境界
。
【Kip Thorne】
星際效應以愛因斯坦「廣義相對論」為科學基礎，電影中的劇情
才能合理建立，不論蟲洞、黑洞、五次元（5-Dimension） 的研究皆
由廣義相對論衍生，具有嚴謹的物理學理論。其中最具代表性的廣義
相對論現象，我想就是那「消失的23年」。
永續號任務來到一顆環繞「巨人」黑洞的Ａ星球，因為重力場非
常強大，Ａ星球時間過的極度緩慢。馬修麥康納（Matthew McConaughey）
飾演、一心想要趕回家看女兒的庫柏心急如焚，想要盡量縮短探索Ａ
星球的時間，卻被滔天巨浪打得東倒西歪，不但損失一位同伴，還被
迫待上兩個多小時。然而這一耽擱不得了，他們回到太空船上已經過
去23年。
【星際效應劇照：Anne Hathaway與Matthew McConaughey】
庫柏看著從地球傳來的訊息，發現老父走了、兒子娶妻生子、女
兒雖然成長卻對父親失望……對庫柏來說，原本可以通訊聯繫家人的
23年光陰平白無故消失了，他等於在「家人的時間」中消失23年，這
如何不讓極度恐慌的庫柏充滿了悔恨及悲痛呢？若時間再這樣「浪費
」，趕回地球與家人相聚的機會渺茫。
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廣義相對論的基礎：等效原理
「消失的23年」是如此巨大，導致庫柏如此悲傷，馬修麥康納的
演技令人動容。其實這23年並非真的消失了，而是時間維度被強大的
重力場壓縮放大，因此，庫柏和布蘭達雖然只用了幾小時探索Ａ星球
，繞行黑洞的羅米利其實已經等了23年，而地球上家人的時間也過去
了23年之久，其背後的物理即為「重力時間延遲」，簡單來說：重力
場越強的地方，時間就會過的越慢。
狹義相對論中，彼此有相對速度的慣性座標系互相比較，可發現
時間延遲的現象很普遍（參閱誰來對我高談闊論「狹義相對論」、「
勞倫茲變換」），而愛因斯坦的廣義相對論則繼續探討「重力」對時
空的影響。
【Albert Einstein】
等效原理（Equivalence Principle） 是廣義相對論的基礎理論
，由愛因斯坦分別在西元1911年的論文《關於引力對光傳播的影響》
及1916年《廣義相對論的基礎》所提出。
愛因斯坦的「思想實驗」：想像在遙遠宇宙中有一艘太空船，太
空船裡的太空人拿起一個鉛球，太空人不僅發現鉛球有重量，也感覺
到自己有重量。這有兩種可能性，一是太空船正在加速前進，就像搭
乘電梯往上升時，會感覺到有一股力量把我們往下拉，此即為加速度
的「慣性力」；另一可能性則為太空船正停在一顆星球上，該星球的
重力場造成了鉛球及太空人感覺到重量，此即為「重力」。
【等效原理的思想實驗】
這個思想實驗說明，太空船裡的太空人無法分辨到底是「慣性力
」還是「重力」造成了重量感覺，兩者互為「等效」現象；重力場中
的靜止座標系可「等效於」加速中的慣性座標系。等效原理的發現，
讓人類首度意識並探討「慣性力」與「重力」的本質，如同愛因斯坦
曾說：「我為它的存在感到極為驚奇，並且猜想其中必有一把可以更
深入了解慣性和引力的鑰匙。」
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庫柏的1小時＝家人的7年
【星際效應劇照：Ａ星球上的悲劇】
電影中，庫柏討論到Ａ星球的時間延遲現象，他們發現黑洞重力
場之強大讓時間極度延遲，在Ａ星球上的時間每過 1小時等於地球上
流逝 7年！「時間」成為必須考量的「消耗資源」，庫柏於是要求盡
快完成登陸探索任務，以爭取日後與家人重逢的機會，沒想到卻發生
意外，消耗那充滿悔恨與悲痛的23年時光……依據等效原理，我們可
以讓重力「等效」慣性力，推導並證明「重力場越強的地方，時間就
會過的越慢。」
【星際效應的等效原理】
假設Ａ星球與黑洞的距離為Ｒ並受到重力場ｇ，而庫柏的太空船
與Ａ星球距離為ｈ且幾乎不受黑洞的重力場影響（時間流逝的速度跟
地球一樣）。依等效原理，我們可以把Ａ星球視為正在加速遠離黑洞
，造成等效黑洞重力場的「慣性加速度」。當Ａ星球加速遠離，距離
黑洞剛好為Ｒ的瞬間，遠離速度為ｕ，此時Ａ星球往太空船發出光波
，庫柏可觀察到光波的都卜勒效應：
λ船＝（c－u）Ｔ船
其中，λ船、Ｔ船為庫柏觀察到的波長與時間，ｃ為光速。考慮
相對速度的時間延遲：
Ｔ船＝ＴＡ／(1－(u^2/c^2))^(1/2)
其中，ＴＡ為Ａ星球上的時間。於是庫柏觀察到的都卜勒效應變
成：
λ船＝（c－u）ＴＡ／(1－(u^2/c^2))^(1/2)
且ＴＡ＝λＡ／c：
λ船＝c(1－(u/c)) λＡ／c (1－(u^2/c^2))^(-1/2)
＝λＡ（(1－(u/c))／(1＋(u/c))）
又λ＝c／f，ｆ為頻率：
ｆＡ＝ｆ船（(1－(u/c))／(1＋(u/c))）
＝ｆ船／(1－(u^2/c^2))^(1/2) (1＋(u/c))
因為遠離瞬間ｕ遠小於ｃ，所以(u^2/c^2)→0，
(1－(u^2/c^2))^(1/2)→1：
ｆＡ＝ｆ船(1＋(u/c))
頻率為時間的倒數：
Ｔ船＝ＴＡ(1＋(u/c))
所以我們可以得到太空船與Ａ星球的時間轉換式，其中速度ｕ是
「等效」慣性座標系的假想物理量，我們必須轉換成重力場中的某個
等效物理量。考慮速度與加速度的關係：
u＝at
Ａ星球受到黑洞重力加速度即為a＝g，而光波傳送的時間t＝h／c
，所以速度ｕ可等效轉換為：
u→gh／c
於是太空船與Ａ星球的時間轉換式變成：
Ｔ船＝ＴＡ(1＋(gh/c^2))
Ａ星球受到黑洞重力場為：
g＝GM／R^2
其中Ｇ為重力常數、Ｍ為黑洞質量，得到：
Ｔ船＝ＴＡ(1＋(GMh/c^2 R^2))
於是我們可利用等效原理，簡單證明Ａ星球上流逝的時間被延遲
了，比太空船上的時間還要慢；重力場越強的地方（Ａ星球），時間
就會過的越慢。帶入電影中的設定，太空船與Ａ星球的時間轉換式即
為：
7年＝1小時×(1＋(GMh/c^2 R^2))
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黑洞質量有多大？
【星際效應劇照：巨人黑洞】
由太空船與Ａ星球的時間轉換式，我們可以概略評估電影中這顆
「巨人」黑洞的質量到底有多大？代入重力常數Ｇ＝6.67×10^(-11)
m3/kg s2與光速ｃ＝3×10^8 m/s ：
2.21×10^8＝3.6×10^3 ×（1＋6.67×10^(-11)/(3×10^8)^2 Mh/R^2）
→ 2.21×10^8～2.67×10^(-24) Mh/R^2
雖然Ｒ和ｈ仍為未知，但觀察上式並比較太陽質量（約為2×10^30
kg）仍可感覺黑洞質量Ｍ的巨大程度。目前人類所發現的最大黑洞位
於距離地球13億光年外的Apr147星系之中，質量約為太陽的 400億倍
！假設Ａ星球所繞行的「巨人」黑洞為此質量，那麼太空船不受黑洞
重力場影響（假設至少跟地球一樣g＝9.8）的距離為（Ｒ＋ｈ）：
9.8＝G×400×10^8×Ms／(R＋h)^2
→ (R＋h)～7.31×10^14 m
以及：
400×10^8×2×10^30 h／R^2 ～3.31×10^31
→ h／R^2 ～4.14×10^(-10) m^-1
可以求得Ｒ與ｈ的關係：
R～1.33×10^12 m
h～7.32×10^14 m
地球到太陽的距離為 1天文單位（AU），約為一億五千萬公里
（1.5×10^11 m）。比較後可概略評估Ｒ約為10AU，幾乎是太陽到土
星的距離。ｈ則約為5000AU，此為黑洞重力場剛好與地球一樣的距離
，但似乎太遠了……然而，若黑洞質量再小一些，或「時間消耗」能
控制在容忍範圍，庫柏的太空船便可更接近這顆「巨人」，或許就更
符合電影中的實際情況。
【星際效應劇照：Ａ星球上有海洋】
然而，電影中的Ａ星球上有海洋，即存在「液態水」，所以庫柏
一行人遭遇到滔天巨浪。若Ａ星球距離黑洞10AU，則可能會如土星因
為距離太陽太遠而「太冷」，使得液態水無法存在。為了符合電影中
的設定，或許能參照「地球」存在液態水的關鍵：地球與太陽的距離
。
雖然得考量很多因素，但我們可以繼續簡單假設，Ａ星球與「巨
人」黑洞的距離等於地球與太陽的距離，這樣液態水就有存在的可能
。令Ｒ為 1AU（1.5×10^11 m）：
Mh／(1.5×10^11)^2 ～3.31×10^31 kg/m
→ Mh～7.45×10^53 kg.m
得到黑洞質量Ｍ與ｈ的關係式，然後加入原來「太空船不受黑洞
重力場影響」的設定：
9.8＝G×M／(R＋h)^2＝6.67×10^(-11)×M／(1.5×10^11＋h)^2
～6.67×10^(-11)×M／h^2
上式中，Ｒ遠小於ｈ可忽略。代入黑洞質量Ｍ與ｈ的關係式可解
方程式：
h～1.72×10^14 m
M～4.33×10^38 kg
以上的估計結果與電影中的實際情況更為貼近：「巨人」黑洞的
質量約為太陽的 2億倍，而太空船與「巨人」的距離也拉近到約1000
AU了！
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