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應板主要求, 前來分享我對於微積分教科書的一些感想.

因為本人最近生活有些混亂, 一時難以靜下心來好好寫, 已經拖欠一段時間了...

現在趕快來寫一篇, 不敢保證這篇的品質, 但以後會儘量回來修文.




為什麼要對微積分寫書評?

很多人覺得, 微積分課本都一樣,隨便挑一本就好啦.

是的,大部份的微積分課本

若就"內容有哪些"來說, 的確是大同小異

只有少數課本會跟大家比較不一樣

但即使是內容大同小異

仍然會有寫作邏輯、闡釋方式、插圖精美度甚至習題安排 等等之不同

就我個人來說, 我當年就是同時讀好幾本書

我並沒有專注於一本然後從頭讀到尾

而是一個主題同時看好幾本, 看看各個不同作者的不同闡釋

這會幫助我更看清它的全貌

之前就曾經看到某位板友, 卡在Stewart對chain rule的證明讀不懂

我去翻翻後 發現它的證法的確算是比較嚴謹而不是很好懂的

對於非數學系同學可能較難以接受

然而如果讀到別種證法就會好懂多了

像是Thomas所用的就十分直觀好懂

而它自己也知道這是偏好懂但不是十分嚴謹

所以它說 Intuituve "Proof" of the Chain Rule

先讓你瞧瞧好懂的"proof"

然後 we give a precise proof in Section 3.10

諸如此類

不同作者會有不同的闡釋手法、策略

而你如果初學又是自讀, 很容易將時間精力花在不必要的地方而不自知

所以如果能選用較適合自己的一兩書, 還是會比較好的






大體來說, 英文教科書是好過中文的.

美國的教科書常是儘量寫得簡單好懂、圖例多又精美、穿插的例子也多

如果你有機會去翻翻他們高中以下的數學書

precalculus、geometry、....等等

會發現也跟微積分普物等等教科書差不多的寫法

相較之下台灣的高中數學課本簡直是不能比




先舉些常用的英文書


1.

James Stewart

https://www.amazon.com/Calculus-James-Stewart/dp/0538497815

很多人推薦的書

講解得算清楚, 圖解也算畫得不錯, 習題的選用也不錯

每章後面還會有 problem plus 提供進階一點的題目讓你思考, 你想跳過不看也無妨

它的向量分析的部份寫得算是不錯

如果你是選用別本微積分書, 也可以借Stewart這本來瞧瞧

但如果你是商管生農醫類的同學, 就不必了

因為通常你們不會學到向量分析


整體來說 Stewart這本算是各方面都蠻優秀的

或許每一方面都有其它書比它好

你可以找出有些書講解比它清楚、有些書的圖例比它好、...等等

但他就是整體來說都不錯






2.

Salas

https://www.amazon.com/Calculus-Variables-Saturnino-L-Salas/dp/0471698040

在大多數的微積分課本當中, 它是相對來說較注重理論證明的

也因此受到一些數學系的老師與同學喜愛

書中所用的色彩比較少, 但我認為不至於因此讓插圖不好懂

微積分的書在介紹自然指數時, 有幾種不同的方法

有些是學極限時就先用極限定義e

再介紹說㏑是以e為底的對數

有些是直接將㏑x定義為某一種函數: y=1/z 底下的面積, 由1到x的部份

然後用很理論的手法, 先討論說這函數具有某些性質(可能順便再用積分證明這些性質)

討論出一堆性質後發現:它就是一種對數!

然後說:我們把這個對數的底叫做e ,接著又繼續討論下去...



後者的手法, 很多同學都會看不懂這到底在幹嘛

我個人比較推薦用前者的手法來介紹自然指數

這不但比較好懂 而且數學史上的演進來說是比較接近前者

數學史上其實根本不是用什麼y=1/z底下的面積這回事來開始發展自然對數的

數學有許多東西是這樣的 , 在歷史上是先有A接著發展出B->C->D等等性質與定理

後來就有數學家說, 我們由C當定義出發, 可以推得D然後再推得A以及B等等


Salas這本書正是用這種方法在介紹自然指數的

其它有些書是兩種都有講, 或只用前者的.

我個人是不知道用後者的手法呈現給非數學系同學看到底要幹嘛

每次都一堆同學搞不懂跑來問, 讓我費力解釋它在幹嘛.

唯有對於數學有興趣的同學, 我才會推薦他讀讀後者這種說法.


它所寫向量分析的部份, 以前的網路書評說它是敗筆

我是覺得, 向量分析在初微的課程當中, 本來就算比較不好懂

那麼你遇到較理論一點的書時, 那當然是更不好懂

建議你如果是選用Salas這本書

你可以先讀讀別的書怎麼講解向量分析,再回來看Salas

其實它沒有這麼不可取, 向量分析的一些運算練習
1
譬如說你要怎麼把距離 r 取梯度、 怎麼把 ─ 取梯度, 乃至於再進階一點的運算
r
你來看這本書還是會有收穫的

但若它是你唯一的書的話, 就會辛苦點了,不建議直接啃.




3.

Larson

https://www.amazon.com/Calculus-Ron-Larson/dp/0547167024

寫得很簡單易懂, 插圖也很精美

整體的難易度算偏簡單

並且它會在某些行的算式

用紅色字在右邊寫一些字

以標明從上一行到此行, 發生了什麼事

這對於數學程度不好的同學來說很有用

因此自認程度不是很好的同學, 我個人頗推薦使用這本

台大數學系張海潮老師有翻成中文譯本, 少了向量分析的部份

非理工同學可考慮使用

需要向量分析的同學也可使用, 但就要另外找書補起向量分析

這本書也會在一旁附一些小小數學史讓讀者參考

我知道大部份的人不會去看, 但有空稍微看一下確實是不錯的






4.

Thomas

https://www.amazon.com/Thomas-Calculus-12th-George-Jr/dp/0321587995/

這本也是許多人用的名書

它的插圖算是很精美的

在preface裡它就說到

we realize that figures and illustrations are

a crucial component to learning calculus, so we ...

簡單來說 就是這本書對插圖很用心就對了

除了插圖這項優點外, 它的內容也是蠻不錯的

稍舉一例來說

很多人可能以為, 分部積分時如果用表格速解法, 來取代重複做好幾次分部積分

在考試中可能是拿不到分的, 因為課本上沒這樣教.

其實在Thomas這本書當中, 便介紹到了 tabular integration

所以你修課的班如果是用這本, 那你可以放心用這招

如果在轉學考研究所入學考的話, 那抱歉我不確定哈哈



台大的蔡聰明老師有將這本書翻成中文

但翻譯原因並不是因為他覺得這本書很好

是因為出版社叫他翻他就翻了

他頭一年邊翻譯邊用原文來當上課用書, 隔年翻完則用翻譯本

在邊翻邊用的時候,他就常邊上課邊罵這本書哪裡寫得不好

"這些洋教科書實在是.. "

但具體他到底罵了些什麼、他批評時所抱的觀點我認不認同

由於我不是當時修課學生, 所以我也不清楚

只是想表達, 不要以為某名系或某名師用了哪本書, 就一定他們覺得這本很好

我自己翻的時候(是翻書來看 不是翻譯)

也有發現一些缺點, 但一時想不起來無法舉例.

如果可以的話, 請使用原文版的即可

蔡老師的翻譯其實不完全是翻譯, 加了不少自己的東西進去.

並且刪掉許多章節與習題.

蔡老師自己寫的東西是很好的, 但不好就在於, 他刪得太多.

以致於習題有點少, 可能不能滿足你的需求

以及許多章節像是極座標被刪掉了, 這很奇怪.

原文當中先有介紹極座標的章節,

後來二重積分有介紹到極座標代換, 邊直接接著講

其它許多書都是直接在極座標代換的那一節,介紹極座標並且使用.

而蔡老師的譯本是將專介紹極座標的章節刪掉,只剩直接使用的那一節

於是便造成修課同學困擾, 有些習題不會寫,

同學拿來問我時我一看, 翻查原文對照下, 發現此種情形.

這題為什麼同學不會, 因為在原書中它是需要你讀過專介紹極座標那節的,

現在譯本把那節刪掉, 而這題又保留, 同學當然不會.

另外還有個缺點, 這本書有很多打錯字.

題目錯、書後所附解答錯 等等

實在很要命

作為主要的用書, 十分不建議使用這本中譯本.

但如果你已經讀了主要的一兩本書, 再來讀這本我認為是很好的.







5. Tan

https://www.amazon.com/Calculus-Transcendentals-Soo-T-Tan/dp/0534465544

使用率較前面幾本可能較小, 前幾年台大的李聰成老師曾使用這本當上課用書.

中文譯本我看過兩種, 其中一種是淡大曾琇瑱老師所翻, 另一種不記得.

這本類似 Larson , 是盡量寫得很好懂的

也會在算式右邊標紅色字以作說明

但其行文有稍微犧牲一些精確性, 所以會讀到一些不是很正確的東西.

我個人是認為,對於非數學背景、學習數學時頗感困難的同學來說,

在教學時採用略為犧牲精確性以增加它的好懂性,這樣的方式是可行的.

但應該要犧牲到什麼程度算是恰當,就頗難拿捏.

舉例來說,要求泰勒級數的收斂區間, 這本書就直接計算此無窮級數的收斂區間.

但級數是收斂的並不等於它會收斂到原來的函數,用詞都叫收斂但其實不一樣,

必須函數是解析函數時才會這麼方便.

-1/x^2
e ,x≠0
在許多書都有提供 y＝{ 這個非解析函數
0 ,x＝0

來讓你看看級數收斂區間與它收斂到原函數的區間不相同的例子.

而這本書沒有, 它就直接混淆.

雖然很多常見函數都是解析函數, 以致於它這麼做單就結果來說是正確的.

對於只想pass的非數學系同學來說可能也沒必要這麼追究,

但對於有志想把微積分學得好學得正確的同學來說, 這就蠻要命的.


另外還有一例, 在做積分變數代換時, 變數與積分範圍都是要換掉的.

我猜這本書可能是想慢慢寫, 來讓讀者好懂一點

於是它先換變數, 寫一行

接著在下一行再把範圍也換掉.

這樣步驟寫多點,可能會讓同學好懂一點,

但中間那行實在不該出現在作答, 只能自己寫一旁.

李聰成老師上課時只好強調那行是錯的不可以那樣寫.


總的來說, 蠻不推薦這本.




6.

Edward and Penny

https://www.amazon.com/Calculus-Early-Transcendentals-Henry-Edwards

這本書可能使用率更低

其實我也只隨便翻一下, 要做什麼評論可能很不適合.

我是想說, 我讀過作者所寫的常微分方程.

覺得寫得蠻好的, 某一年台大的林紹雄老師也以這本作為ODE的上課用書

後來在二手書店看到同作者所寫微積分

印象中也是蠻好懂、講解不錯,如果它只賣一兩百我會收購回來慢慢翻

我對這本書瞭解不夠, 所以無法下定論,

但我推薦如果你有機會,也可以在書店翻翻看這本,看要不要買回來用.




7.

Apostol

https://ppt.cc/y2P5

作者所寫的高微是著名的常用書

我個人相當喜歡, 覺得他很擅於用文字點出一些證明的要點

至於他所寫的初微書, 很不同於一般微積分教科書.

對於想增強實力的同學, 我很推薦這本當第二本以後的書

稍舉幾例來介紹這本書:

a. 用一些性質與式子來定義三角函數, 而非用三角形定義 ,
接著以此出發, 來證明一些三角函數的公式.

b. 先講積分 再講微分. 這其實也比較貼近數學史的發展.

c. 在講多變數之前, 先介紹些線性代數以便使用, 所以你也順便學了線代

d. 附贈微分方程、機率、數值分析來讓你看微積分的用處,
所以你又順便學了微方機率和數值分析.

e. 行文中參了一些高微的東西. 如果你讀他寫的高微,
會發現每章的refference裡有他自己寫的初微







中文書的話

1. 楊維哲

https://findbook.tw/book/9789571405421/basic

楊老師行文很有個人風格

他的上課與寫書, 在觀念上對學生是很有啟發的

我個人的教學也深受影響.

但老師自己可能太天才了, 較難體會資質不是很好的同學.

因此他的課程與書, 較不適合數學不太好的同學, 會讓同學覺得難以跟上.

不過如果你能聽懂他的課、看懂他的書, 就真的很棒

我以前即使重感冒也要去聽他的課.

你如果覺得自己程度不太好, 你可以做為輔助地翻閱一下這本書

概念闡釋、常見誤解澄清、進階技巧演示等等 是這本書的優點

缺點是有些名詞是自己獨創, 初學者難以與其它書對照,

以及中文書作者常覺得自己所附習題量夠了, 但其實蠻少的.




2.翁秉仁


翁老師鑒於原文書常是很厚重一大本

習題很多、取材又雜

所以自己寫一本中文書給生農商管醫的同學

希望減輕同學的修課負擔

這樣的用心我個人很推崇

但這不等於他寫出來的書很好

這本書常講解不清、算式太簡略以為同學都讀得懂能補上省略的部份

雖然教材厚重是個負擔, 但我想太過簡略會是更大的負擔.

習題不但太少, 有時還很怪, 譬如說函數作圖題大部份都很不好畫

或是連我和其它助教也要想半天這題是想問什麼、表達什麼..

介紹機率統計, 但寫得很數學, 很不統計,

修過統計的同學重修微積分也看不懂這本書想表達什麼


我覺得許多數學系出身的人, 比較難以同理非數學背景的同學

以致於在教課寫書的時候, 使用了太偏向理論證明的方式,

或是有些自以為很好懂的地方草草帶過, 但其實同學不太能跟上

而這本書就是很充分地體現出這樣的特色

其實這本書也沒有完全很理論很沉悶, 其實也是有試圖闡釋的.

不過有試圖這麼做並不等於做得很好...


總的來說, 初學且自讀的人 ,會不易讀懂, 要有老師帶

如果你是因為台大的微乙多年使用這本, 而想添購這本書來用的話

奉勸你: 回頭是岸







3.

自己評自己可能很奇怪, 不過我自己也有在寫

我是用blog的方式, 個別主題地寫
https://calculus.yuyumagic424.net

等分別寫好才會統整、修改再出書, 目前只是先求有再求好



先講缺點吧

如我前面所說, 試圖這麼做不等於會做得好

我是盡力想闡釋得很好懂, 但我不見得做得很好

還是會有讓人不太懂的地方

以及我是獨力完成, 所以打字錯的實在很多,甚至會發現有計算錯的..

或者是出於我學養不足的錯誤, 這也是有可能的

而且才寫一半而已, 要當唯一教材根本不可能

我最近自己也有點忙亂, 已經一段時間沒動筆了



不過我真的很試圖要寫得比較不一樣、比較好懂

譬如說極限的嚴格定義
https://calculus.yuyumagic424.net/?p=26

積分的變數代換
https://calculus.yuyumagic424.net/?p=85

泰勒展開
https://calculus.yuyumagic424.net/?p=104



我想作為輔助應該還是合適的, 你可以參考一下









介紹完以上這些

再簡單推薦向量分析的書

向量分析 原理及題解 斯派格(Spiegel, Murray R.)撰 黃子琴譯

誰怕向量微積分 : 散度、梯度、旋度 H. M. Schey原著; 林和,洪志誠,楊志彬譯

向量分析 林琦焜著


如果你覺得向量分析很讓你頭痛, 就先翻翻這幾本吧!

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